【題目】直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O,點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為射線ON,OM上兩點(diǎn),且滿足∠ACN=∠ODB=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時,且AO=OB,請直接寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系;
(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<a<45),如圖2所示,若AO=OB,(1)中的AC與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,若AO=kOB.
①請求出的值;
②若k=,∠AOC=30°,BD=3,請直接寫出OC的長.
【答案】(1)AC=BD;(2)成立;(3)①k;②;
【解析】
(1)先根據(jù)∠BOD和∠BDO的度數(shù),判斷DB與OB的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系,再得出AO與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系;
(2)先分別過點(diǎn)A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,通過判定△AOE≌△BOF,得到AE=BF,由∠ACN=∠BDN=45°,得∠AEC=∠BFD=90°,求出AC=AE,BD=BF,得出AC與BD的數(shù)量關(guān)系;
(3)分別過點(diǎn)A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,由△AEO∽△BFO,得,再求出AC=AE,BD=BF,得出AC與BD的比值.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,AE=CE=2,在Rt△AOE中,∠AOE=30°,可得OE=AE=2,可得到OC.
解:(1)∵點(diǎn)O和點(diǎn)C重合,
∴AC=OA.∠AON=∠ACN=45°,
∵∠BDO=∠ACN=45°,
∴∠BDO=∠BOD=45°,
∴BD=OB,
∵OA=OB,
∴AC=BD;
(2)成立,理由:如圖2,分別過點(diǎn)A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°,
在△AOE和△BOF中,,
∴△AOE≌△BOF,
∴AE=BF,
∵∠ACN=∠BDN=45°,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∴AC=AE,BD=BF,
∴AC=BD;
(3)①如圖3,分別過點(diǎn)A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°,
∵∠AOE=∠BOF,
∴△AEO∽△BFO,
∴=k,
∵∠ACN=∠BDN=45°,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∴AC=AE,BD=BF,
∴=k;
②如圖3,由①知, =k,
∵k=,BD=3,
∴AC=2,
在Rt△ACE中,∠ACE=45°,
∴AE=CE=2,
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
∴OE=AE=2,
∴OC=2(﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:yx5與x軸,y軸分別交于A.B兩點(diǎn).直線l2:y4xb與l1交于點(diǎn) D(-3,8)且與x軸,y軸分別交于C、E.
(1)求出點(diǎn)A坐標(biāo),直線l2的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接CP,一動點(diǎn)Q從C出發(fā),沿線段CP 以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)P,再沿著線段PD以每秒個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D停止,求點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中所用最少時間與點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖3,平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)G(m,2),使得SCEGSCEB,求點(diǎn)G的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)E在⊙O上,C為的中點(diǎn),過點(diǎn)C作直線CD⊥AE于D,連接AC,BC.
(1)試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水池的容積為90m3,水池中已有水10m3,現(xiàn)按8m3/h的流量向水池注水.
(1)寫出水池中水的體積y(m3)與進(jìn)水時間t(h)之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量t的取值范圍;
(2)當(dāng)t=1時,求y的值;當(dāng)V=50時,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上,過AC的中點(diǎn)F作線段GE交∠DAC的平分線于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個尋寶游戲的尋寶通道如圖①所示,通道由在同一平面內(nèi)的AB,BC,CA,OA, OB,OC組成。為記錄尋寶者的行進(jìn)路線,在BC的中點(diǎn)M處放置了一臺定位儀器,設(shè)尋寶者行進(jìn)的時間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進(jìn),且表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致如圖②所示,則尋寶者的行進(jìn)路線可能為:
A. A→O→B B. B→A→C C. B→O→C D. C→B→O
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,P點(diǎn)在BC邊上的高AD上,且,BP的延長線交AC于E,若S△ABC=10,則S△ABE=_____;S△DEC=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊三角形的邊長為,過邊上一點(diǎn)作于點(diǎn),為延長線上一點(diǎn),取,連接,交于,則的長為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)為上一點(diǎn),將沿翻折后點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,過作于,交于,連接.
求證:四邊形是菱形;
若,,求四邊形的面積.
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