Question

【題目】如圖，AB是的一條弦，點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與交于G、H兩點(diǎn)．若的半徑為5，則的最大值為______．

Answer 1

【答案】7.5

【解析】

首先連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，進(jìn)而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據(jù)⊙O的半徑為5，可得AB=OA=OB=5，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出EF的長(zhǎng)度；最后判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的值最大，進(jìn)而求出GE+FH的最大值是多少即可．

如圖1，連接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=OA=OB=5，
∵點(diǎn)E，F分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF=AB=，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的最大值為：5×2=10，
∴GE+FH的最大值為：10-=7.5．
故答案為：7.5．