Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且△DBC為等邊三角形．
（1）求證：直線AD垂直平分BC；
（2）以AB為一邊，在AB的右側(cè)畫等邊△ABE，連接DE，試判斷以DA，DB，DE三條線段是否能構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上進(jìn)行證明；
（2）首先連接CE，然后證明△EBC≌△ABD，△ADB≌△ADC，再計(jì)算出∠ADB的度數(shù)，進(jìn)而可得∠DCE=90°，可證明以DA，DB，DE三條線段能構(gòu)成直角三角形．

解答：證明：（1）∵△DBC為等邊三角形，
∴DB=DC，
∴D在BC的垂直平分線上，
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∴直線AD垂直平分BC；

（2）以DA，DB，DE三條線段能構(gòu)成直角三角形；
理由：連接CE，
∵∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，
在△EBC和△ABD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBC DB=CB

，
∴△EBC≌△ABD（SAS），
∴∠BCE=∠ADB，AD=CE，
在△ADB和△ADC中，

AD=AD AB=AC DB=DC

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=

1

2

（360°-∠BCD）=150°，
∴∠BCE=∠BDA=150°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵CE=DA，DC=DB，
∴以DA，DB，DE三條線段能構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理．