【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點,過點A作直線AC⊥x軸,交直線y=2x于點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點A關(guān)于直線y=2x的對稱點A′的坐標,判定點A′是否在拋物線上,并說明理由;
(3)點P是拋物線上一動點,過點P作y軸的平行線,交線段CA′于點M,是否存在這樣的點P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1).(2)點A/的坐標為(﹣3,4).點A/在該拋物線上.(3)點P運動到時,四邊形PACM是平行四邊形.
【解析】試題分析:(1)將點A、B的坐標代入拋物線的解析式,得到關(guān)于b、c的二元一次方程組,從而可解得b、c的值;
(2)過點B′作B′E⊥x軸于E,BB′與OC交于點F.由平行于y軸的直線上各點橫坐標相同可知點C的橫坐標為2,將x=2代入直線y=﹣2x的解析式可求得點C的坐標∵點B和B′關(guān)于直線y=﹣2x對稱,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得OC=5,然后利用面積法可求得BF=2.由軸對稱圖形的性質(zhì)可知B′F=FB=4.由同角的余角相等可證明∠B′BE=∠BCF,從而可證明Rt△B′EB∽Rt△OBC,由相似三角形的性質(zhì)可求得B′E=4,BE=8,故此可求得點B′的坐標為(﹣3,﹣4),然后可判斷出點B′在拋物線上;
(3)先根據(jù)題意畫出圖形,然后利用待定系數(shù)法求得B′C的解析式,設(shè)點P的坐標為(x,﹣+x+),則點D為(x,﹣),由平行四邊形的判定定理可知當PD=BC時.四邊形PBCD是平行四邊形,最后根據(jù)PD=BC列出關(guān)于x的方程即可求得點P的坐標
解:(1)∵y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點,
∴.
解得:.
∴拋物線的解析式為y=﹣+x+.
(2)如圖,過點B′作B′E⊥x軸于E,BB′與OC交于點F.
∵BC⊥x軸,
∴點C的橫坐標為5.
∵點C在直線y=﹣2x上,
∴C(5,﹣10).
∵點B和B′關(guān)于直線y=﹣2x對稱,
∴B′F=BF.
在Rt△ABC中,由勾股定理可知:OC===5.
∵S△OBC=OCBF=OBBC,
∴5×BF=5×10.
∴BF=2.
∴BB′=4.
∵∠B′BE+∠B′BC=90°,∠BCF+∠B′BC=90°,
∴∠B′BE=∠BCF.
又∵∠B′EB=∠OBC=90°,
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC.
∴,即.
∴B′E=4,BE=8.
∴OE=BE﹣OB=3.
∴點B′的坐標為(﹣3,﹣4).
當x=﹣3時,y=﹣×(﹣3)2+=﹣4.
所以,點B′在該拋物線上.
(3)存在.
理由:如圖所示:
設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b,則,解得:
∴直線B′C的解析式為y=.
設(shè)點P的坐標為(x,﹣+x+),則點D為(x,﹣).
∵PD∥BC,
∴要使四邊形PBCD是平行四邊形,只需PD=BC.又點D在點P的下方,
∴﹣(﹣)=10..
解得x1=2,x2=5(不合題意,舍去).
當x=2時,=.
∴當點P運動到(2,)時,四邊形PBCD是平行四邊形.
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【題目】為進一步發(fā)展基礎(chǔ)教育,2016年某縣投入教育經(jīng)費6000萬元,2018年投入教育經(jīng)費8640萬元,假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同.
(1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率;
(2)若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率,請你預(yù)算2019年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元.
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【題目】如圖,現(xiàn)有5張寫著不同數(shù)字的卡片,請按要求完成下列問題:
若從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大,則乘積的最大值是______.
若從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小,則商的最小值是______.
若從中取出4張卡片,請運用所學(xué)的計算方法,寫出兩個不同的運算式,使四個數(shù)字的計算結(jié)果為24.
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【題目】已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點如圖所示,且|a|>|b|.
(1)|a﹣b|= ,|a+b|= ,|a+c|= ,|b﹣c|= ;
(2)化簡|a﹣b|﹣|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A.圖象關(guān)于直線x=1對稱
B.函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4
C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根
D.當x<1時,y隨x的增大而增大
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【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | … |
從上表可知,下列說法中,錯誤的是( )
A. 拋物線于x軸的一個交點坐標為(﹣2,0)
B. 拋物線與y軸的交點坐標為(0,6)
C. 拋物線的對稱軸是直線x=0
D. 拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的
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【題目】如圖,一個正五棱柱的底面邊長為2cm,高為4cm。
(1)這個棱柱共有多少個面?計算它的側(cè)面積;
(2)這個棱柱共有多少個頂點?有多少條棱?
(3)試用含有的代數(shù)式表示棱柱的頂點數(shù)、面數(shù)、與棱的條數(shù)。
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【題目】已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,且|a|=|b|,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. a+c<0B. -a+b+c<0
C. |a+b|>|a+c|D. |a+b|<|a+c|
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【題目】在矩形中,將點翻折到對角線上的點處,折痕交于點.將點翻折到對角線上的點處,折痕交于點.
求證:四邊形為平行四邊形;
若四邊形為菱形,且,求的長.
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