Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線，可得∠BAO=∠CAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠CBA=∠BAO，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BC=AC，從而得到點B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AB的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，可得y_P，y_Q，根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減去較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的最值性質(zhì)就可解決問題；

解答 解：（1）如圖1：

∵A（-3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴點B的坐標(biāo)為（5，4）．
∵A（-3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=4}\\{25z+5b+c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）如圖2：

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
∵A（-3.0）、B（5，4）在直線AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{5m+n=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t（-3≤t≤5），則點Q的橫坐標(biāo)也為t．
∴y_P=$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，y_Q=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4．
∴PQ=y_Q-y_P=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）
=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$
=-$\frac{1}{6}$（t²-2t-15）
=-$\frac{1}{6}$[（t-1）²-16]
=-$\frac{1}{6}$（t-1）²+$\frac{8}{3}$．
∵-$\frac{1}{6}$＜0，-3≤1≤5，
∴當(dāng)t=1時，PQ_最大=$\frac{8}{3}$．
∴線段PQ的最大值為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，利用等腰三角形的判定得出BC的長是解題關(guān)鍵；利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出y_P，y_Q，利用平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減去較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．