Question

【題目】（1）已知：如圖，是的內(nèi)接正三角形，點為弧上一動點，求證：；

（2）如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，點為弧上一動點，求證：；

（3）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，點為弧上一動點，請?zhí)骄?/span>三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）

【解析】

（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°，則PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．

證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，
連接CE．∵A、B、P、C四點共圓，

∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP為等邊三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+PB．
（3）PA=PC+PB，理由如下：
過點B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，連接BQ，

∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=，
∴PM=PB，
∴PQ=PB
∴PA=PQ+AQ=PB+PC.