Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，），AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，連接BC．點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)F是線段EO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)A，D，F的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)G，連接DG交線段AB于點(diǎn)M．

(1)求∠ACB的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求過A，D，F三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)以線段DM為一邊作等邊三角形DMP，點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線DG同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑的長．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）先確定出AB，AC，再判斷出∠BAC＝90°，最后用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是MM'，進(jìn)而判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，再判斷出△MDM'≌△PDP'，求出直線BG的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，AB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴B（6，0），

∴AB＝，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，AC⊥y軸于點(diǎn)C，

∴C（0，），

∴AC＝6，

∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，

∴四邊形OBAC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝60°；

（2）由（1）知，C（0，），

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴D（3，），

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

將點(diǎn)A（6，），D（3，），O（0，0）代入拋物線解析式中，得，

∴，

∴拋物線的解析式為，

令y＝0，則，

∴x＝0或x＝9，

∴G（9，0）；

（3）如圖，

當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MM'，

∴以DM為邊的等邊三角形的頂點(diǎn)P的軌跡是線段PP'，

當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時(shí)，DG與AB的交點(diǎn)記作點(diǎn)M，當(dāng)拋物線過點(diǎn)E時(shí)，DG'與AB的交點(diǎn)為M'，

∵△DMP是等邊三角形，

∴DM＝DP，∠MDP＝60°，

∵△DM'P'是等邊三角形

∴DM'＝DP'，∠M'DP'＝60°，

∴∠MDM'＝∠PDP'，

∴△MDM'≌△PDP'（SAS），

∴PP'＝MM'，

由（2）知，G（9，0），

∵D（3，），

∴直線DG的解析式，

令x＝6，則y＝，

∴M，

當(dāng)拋物線過點(diǎn)E時(shí)，即拋物線過點(diǎn)A，D，E，

設(shè)拋物線的解析式為，

∴，

∴，

∴過點(diǎn)A，D，E的拋物線的解析式為，

令y＝0，則，

∴x＝﹣3或x＝12，

∴G'（12，0），

∴DG'的解析式為，

令x＝6，則y＝，

∴M'（6，），

∴PP'＝MM'＝，

即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑的長為．