Question

【題目】(2016云南省第23題)有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

第一個(gè)數(shù)是；

第二個(gè)數(shù)是；

第三個(gè)數(shù)是；

…

對(duì)任何正整數(shù)n，第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于．

（1）經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：

設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a，那么，，，哪個(gè)正確？

請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論；

（2）請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)（即用正整數(shù)n表示第n數(shù)），并且證明你的猜想滿(mǎn)足“第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于”；

（3）設(shè)M表示，，，…，，這2016個(gè)數(shù)的和，即，

求證：．

Answer 1

【答案】(1)、第5個(gè)；(2)、；證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)、證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)、由已知規(guī)律可得；(2)、先根據(jù)已知規(guī)律寫(xiě)出第n、n+1個(gè)數(shù)，再根據(jù)分式的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得；

(3)、將每個(gè)分式根據(jù)﹣=＜＜=﹣，展開(kāi)后再全部相加可得結(jié)論．

試題解析：（1）由題意知第5個(gè)數(shù)a==；

（2）∵第n個(gè)數(shù)為，第（n+1）個(gè)數(shù)為，

∴+=（+）=×=×=，

即第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于；

（3）∵1﹣=＜=1，

=＜＜=1﹣，

﹣=＜＜=﹣，

…

﹣=＜＜=﹣，

﹣=＜＜=﹣，

∴1﹣＜+++…++＜2﹣，

即＜+++…++＜，

∴．