Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a≠0）經過原點O和B（4，4），且對稱軸為直線x=

3

2

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線上是否存在點M，使△MOB中OB邊上的高為2

2

？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，設拋物線與x軸的另一交點為A，點N在拋物線上，滿足∠NBO=∠ABO，若D是直線OB下方的拋物線上且到OB的距離最大的點，試求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)條件運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)條件可求出△MOB的面積，然后分點M在直線OB上方和下方兩種情況討論，設點M坐標為（x，y），根據(jù)△MOB的面積的兩種表示建立方程，就可解決問題．
（3）易知點D與（2）中直線OB下方的點M重合，過點D作DG⊥x軸，垂足為G，可以求出OD和∠DOA的值．設NB與y軸交于點A′，易證△A′OB≌△AOB，則有OA′=OA，可以求出直線BN的解析式，再求出直線BN與拋物線的交點坐標，就可得到點N的坐標，取ON的中點P′，取OB的中點D′，連接D′P′，易得點P′的坐標，并可證到△P′OD′≌△POD，只需分點P在直線OD上方和下方兩種情況討論，就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1①，

設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
由題可得

16a+4b=4 - b 2a = 3 2

．
解得：

a=1 b=-3

．
故拋物線的解析式為y=x²-3x．

（2）①若點M在直線OB的下方，
過點B作BH⊥x軸，垂足為H，過點B作BE⊥y軸，垂足為E，如圖1②，
則有OH=BH=4．
∴OB=4

2

，∠HOB=∠OBH=45°．

由x²-3x=0得x₁=0，x₂=3，則點A（3，0）．
設點A到OB的距離為d，
則d=

OA•BH

OB

=

3×4

4 2

=

3 2

2

＜2

2

．
∴點M在第四象限．
設點M的坐標為（x，y），x＞0，y＜0．
過點M作MF⊥y軸，垂足為F，
則有FM=x，OF=-y．
∵點M到OB的距離為2

2

，
∴S_△MOB=

1

2

×4

2

×2

2

=8．
∴S_△MOB=S_梯形BEFM-S_△BEO-S_△OFM
=

1

2

×（4+x）（4-y）-

1

2

×4×4-

1

2

x•（-y）
=2x-2y=8．
∴y=x-4．
∵點M在拋物線上，
∴x²-3x=x-4．
解得：x₁=x₂=2．
∴y=2-4=-2．
∴點M的坐標為（2，-2）．
②若點M在直線OB的上方，
同理可得：點M的坐標為（2+2

2

，6+2

2

）或（2-2

2

，6-2

2

）．
綜上所述：滿足條件的點M坐標為（2，-2）或（2+2

2

，6+2

2

）或（2-2

2

，6-2

2

）．

（3）由（2）①可知：在直線OB下方拋物線上的點中，到OB的距離等于2

2

的點有且只有一個點M（2，-2），
因而點M（2，-2）到OB的距離最大（否則有兩個點到OB的距離等于2

2

），故點D與點M（2，-2）重合，
所以點D的坐標為（2，-2）．
過點D作DG⊥x軸，垂足為G，如圖2①，

則有OG=DG=2．
∴OD=2

2

，∠DOG=∠ODG=45°．
設BN與y軸交于點A′，
∵∠A′OB=90°-∠AOB=45°，
∴∠A′OB=∠AOB．
在△A′OB和△AOB中，

∠A′OB=∠AOB OB=OB ∠A′BO=∠ABO

．
∴△A′OB≌△AOB（ASA）．
∴OA′=OA．
∵OA=3，∴OA′=3．
∴A′（0，3）．
可設直線BN的解析式為y=mx+3．
∴4m+3=4．
解得；m=

1

4

．
∴直線BN的解析式為y=

1

4

x+3．
聯(lián)立

y= 1 4 x+3 y=x2-3x

．
解得：

x=- 3 4 y= 45 16

或

x=4 y=4

．
∴點N的坐標為（-

3

4

，

45

16

）．
取OB的中點D′，取ON的中點P′，連接D′P′，如圖2②，

則有點P′的坐標為（-

3

8

，

45

32

）．
∵點P′為ON的中點，點D′為OB的中點，
∴P′D′∥BN．
∴△P′OD′∽△NOB．
∵△POD∽△NOB．
∴△P′OD′∽△POD．
∵點D′為OB的中點，
∴OD′=

1

2

OB=2

2

=OD．
∴△P′OD′≌△POD．
①若點P在直線OD的上方，過點P′作P′S⊥x軸，垂足為S，過點P作PT⊥x軸，垂足為T，如圖2③，

則有SO=

3

8

，P′S=

45

32

．
∵△P′OD′≌△POD，
∴∠P′OD′=∠POD．
∴∠P′OP=∠BOD=45°+45°=90°．
∴∠P′OS=90°-∠POT=∠OPT．
在△P′SO和△OTP中，

∠P′OS=∠OPT ∠P′SO=∠OTP OP′=OP

．
∴△P′SO≌△OTP（AAS）．
∴P′S=OT，SO=TP．
∴OT=

45

32

，PT=

3

8

．
∴點P的坐標為（

45

32

，

3

8

）．
②若點P在直線OD的下方，如圖2④，

∵△P′OD′≌△POD，
∴OP′=OP，∠P′OD′=∠POD．
∵∠D′OA=∠DOA=45°，
∴∠P′OR=∠POR．
∴點P′與點P關于x軸對稱．
∴點P的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）．
∴滿足條件的點P的坐標為（

45

32

，

3

8

）或（-

3

8

，-

45

32

）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、直線與拋物線的交點、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、勾股定理等知識，另外還注重對運算能力和分類討論思想的考查，綜合性非常強，有較強的區(qū)分度．