Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（＜45°）．先將△ABC以點B為旋轉(zhuǎn) 中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFG，連接DF，DG，AE，如圖②．

（1）四邊形ABDF的形狀是 ；

（2）求證：四邊形AEDG是平行四邊形；

（3）若AB=2，=30°，則四邊形AEDG的面積是 ．

Answer 1

【答案】（1）正方形；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形，再由旋轉(zhuǎn)角是90°，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角度判斷出△ABE≌△DFG即可得出結(jié)論．

（3）過B作BH⊥AC于H，過點E作EM⊥AB于M，作∠BEN=∠ABE交AB于N，利用直角三角形的性質(zhì)分別求出BH，AH，CH，BE，BC，計算出∠MNE=30°，設(shè)ME=x，則NE=2x，BN=x，利用勾股定理Rt△BME中解出x值，即ME的長度，再利用S四邊形AEDG=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE計算結(jié)果即可.

解：（1）四邊形ABDF是正方形，

證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴∠DBA=∠FAB=90°，DB=AB=AF，AC=DE=AG，
∴∠DBA+∠FAB=180°，
∴DB∥AF，
∵AB=AC，

∴AB=DB=FA=AC=DE=AG，

∵DB∥AF，DB=AF
∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∵∠ABD=90°，

∴四邊形ABDF是矩形，
∵AB=DB，
∴平行四邊形ABDF是正方形；

（2）∵四邊形ABDF是正方形，
∴∠DFA=∠DBA=90°，AB=DF，
∴∠ABD-∠DBE=∠AFD-∠AFG，
∴∠EBA=∠GFD，
在△ABE和△DFG中，

，

∴△ABE≌△DFG（SAS），
∴AE=DG，
又∵DE=AG=AB，
∴四邊形AEDG是平行四邊形．

（3）過B作BH⊥AC于H，過點E作EM⊥AB于M，作∠BEN=∠ABE交AB于N，

∵AB=2，∠BAC=30°，

∴BH=AB=1，

AH=，

∴CH=AC-AH=AB-AH=2-，

∴BC==,

∴BE=BC=，

∵∠BDE=∠BAC=α=30°，DB=DE，

∴∠DBE=∠DEB==75°，

∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=90°-75°=15°，

∴∠BEN=∠ABE=15°，

∴∠MNE=∠NBE+∠BEN=15°+15°=30°，

設(shè)ME=x，則NE=2x，BN=x，

MN=，

∴BM=BN+NM=2x+x，

在Rt△BME中，BM2+ME2=BE2，

即，

解得，（舍），

∴x=，

∴ME=，

∴S△DBE=S△ABC=AC×BH=×2×1=1，

S△ABE=AB×ME=×2×（）=，

∴S四邊形AEDG

=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE

=

=