Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知如圖所示的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)、軸下方一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的解析式；

（3）平移（1）中的拋物線(xiàn)，記平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在直線(xiàn)上滑動(dòng)，且平移后的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，若點(diǎn)為平移前（1）中拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，則當(dāng)以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．

【解析】

（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線(xiàn)，然后將A點(diǎn)代入解析式，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥y軸，直線(xiàn)OP與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)抽BM交于點(diǎn)F，結(jié)合矩形的性質(zhì)求得，從而得到FO=FB，設(shè)MF=x，則FO=FB=4-x，利用勾股定理求x的值，確定F點(diǎn)坐標(biāo)，從而用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式；

（3）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度可求，并且在拋物線(xiàn)滑動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度也是不變的，始終等于AB，因此，問(wèn)題就相當(dāng)于一條定長(zhǎng)線(xiàn)段CD在直線(xiàn)AB上滑動(dòng)，若、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，則按照∠KDC=90°，KD=DC；∠KCD=90°，KC=DC；∠CKD=90°，CK=DK三種情況分析，只需利用等腰直角三角形和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)求得AN的相應(yīng)的距離，從而求平移后的直線(xiàn)解析式與原拋物線(xiàn)解析式相等時(shí)方程的解，可解得E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）由題意，設(shè)拋物線(xiàn)，將代入，得

，解得：

∴拋物線(xiàn)的解析式為：

（2）如圖：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥y軸，直線(xiàn)OP與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)抽BM交于點(diǎn)F

由題意可知，四邊形ONBM是矩形

∴

∴

∴FO=FB

由B（2，-4）可得，OM=2，MB=4

設(shè)MF=x，則FO=FB=4-x

在Rt△OMF中， ，解得：

∴F（2， ）

設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為，把F（2， ）代入，得

解得：

∴直線(xiàn)OP的解析式為；

（3）∵A（0，-2），B（2，-4）

∴

拋物線(xiàn)滑動(dòng)過(guò)程中，C與B為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，D與A為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

∴

∴①當(dāng)∠KDC=90°，KD=DC=時(shí)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)K且平行于直線(xiàn)AB的直線(xiàn)KN（直線(xiàn)KN與y軸交于點(diǎn)N）的解析式為y=-x+n

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為，則 解得

所以直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x-2

∴∠FAN=45°，

∴△NFA為等腰直角三角形，則

∴N（0，2）

則直線(xiàn)KN的解析式為y=-x+2

由此 ，解得或

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）或（-2，4）

②當(dāng)∠KCD=90°，KC=DC=時(shí)，同理可求，E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）或（-2，4）；

③當(dāng)∠CKD=90°，CK=DK時(shí)，

過(guò)點(diǎn)K作KG⊥CD，此時(shí)，KG=NF=AF=，AN=2

∴N（0，0）

則直線(xiàn)KN的解析式為y=-x

由此 ，解得或

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）或（）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．