Question

【題目】已知：拋物線y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．

（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2（其中x1＞x2）．若t是關(guān)于a的函數(shù)、且t＝ax2﹣x1，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（3）若a＝1，將拋物線向上平移一個(gè)單位后與x軸交于點(diǎn)A、B．平移后如圖所示，過A作直線AC，分別交y的正半軸于點(diǎn)P和拋物線于點(diǎn)C，且OP＝1．M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求2MB+MC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）t＝a﹣5；（3）2MB+MC的最小值為．

【解析】

（1）要證拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的值，利用完全平方公式的非負(fù)性說明△＞0即可；

（2）令y＝0，求出含a的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)條件確定x2和x1，再代入t＝ax2﹣x1中整理即可；

（3）易求出平移后拋物線的解析式及A，B的坐標(biāo)和直線AC的解析式，然后聯(lián)立直線AC的解析式和二次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，過C作CN⊥y軸，過M作MG⊥CN于G，過C作CH⊥x軸于H，易得∠GCM＝30°，則，于是2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN的最小距離CH，問題即得解決．

（1）證明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，

∵a＞0，∴（a+3）2＞0，

∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：令y＝0，則ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，

∵a＞0，∴，∴x=2或，

∵a＞0，∴，

∵x1＞x2，∴x1＝2，，

∴，

∴t＝a﹣5；

（3）解：當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線為y＝x2﹣4，向上平移一個(gè)單位得y＝x2﹣3，

令y＝0，則x2﹣3＝0，解得：，∴A（，0），B（，0），∴AO＝，

∵OP＝1，∴P（0，1），設(shè)直線AC的解析式為，把點(diǎn)A（，0）代入，得：，∴直線AC的解析式為：，

聯(lián)立：，解得：，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（，），

在Rt△AOP中，根據(jù)勾股定理，得：AP＝，∴∠OAP=30°，

過C作CN⊥y軸，過M作MG⊥CN于G，過C作CH⊥x軸于H，

∵CN∥x軸，∴∠GCM＝∠PAO=30°，∴，

∴，

∵B到CN最小距離為CH，

∴MB+GM的最小值為CH的長度，

∴2MB+MC的最小值為．