Question

【題目】已知拋物線（，是常數(shù)，且），經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，已知，是以為未知數(shù)的一元二次方程（為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)在拋物線上，連接，，，且平分，求出值及點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）值為，點(diǎn)坐標(biāo)為或.

【解析】

（Ⅰ）將點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0）坐標(biāo)代入y=a+bx+3得到a和b的方程組，然后解方程求出a和b，即可得到拋物線的解析式；

（Ⅱ）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，分當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，和點(diǎn)P在射線BN上時(shí)，兩種情況討論，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+3），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），就可以得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式而得出結(jié)論；

（Ⅲ）根據(jù)根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延長(zhǎng)MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，延長(zhǎng)MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解：（Ⅰ）將代入，

得解得

∴拋物線的解析式為；

（Ⅱ）∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的方程為，

將代入，得.

解得.

∴直線的方程為.

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且垂直于軸，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，

.

∵，

∴

（Ⅲ）∵是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

∴，即.

整理得：.

∴.

∴.

∴方程為.

解得.

∵與是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以.

即.

∴.

如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴是菱形.

∴.

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，都是.

在中，當(dāng)時(shí)，.

∴.

解得.

綜上所述：值為，點(diǎn)坐標(biāo)為或.