Question

在任意三角形ABC邊上畫正方形ABDE、ACGF，連接BE、FC、EF，并取BE、FC、EF、BC的中點I、J、H、K，連接IH、HJ、JK、IK，求證：HIKJ為正方形．

Answer 1

考點：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連接BF、CE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，再求出∠BAF=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=CE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABF=∠AEC，再求出BF⊥CE，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得HI∥BF，HI=

1

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BF，KJ∥BF，KJ=

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BF，IK∥CE，IK=

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CE，HJ∥CE，HJ=

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CE，再求出HI=IK=KJ=HJ且HI⊥IK，然后根據(jù)正方形的判定方法解答．

解答：證明：如圖，連接BF、CE，
在正方形ABDE、ACGF中，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF，
即∠BAF=∠EAC，
在△ABF和△AEC中，

AB=AE ∠BAF=∠EAC AC=AF

，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴BF=CE，∠ABF=∠AEC，
∴∠BEC+∠EBF=∠ABE+∠AEB=90°，
∴BF⊥CE，
∵BE、FC、EF、BC的中點分別為I、J、H、K，
∴HI∥BF，HI=

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BF，KJ∥BF，KJ=

1

2

BF，IK∥CE，IK=

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2

CE，HJ∥CE，HJ=

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2

CE，
∴HI=IK=KJ=HJ且HI⊥IK，
∴四邊形HIKJ為正方形．

點評：本題考查了正方形的判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．