Question

10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB與直線y=x相交于點(diǎn)A（3，a），與x軸的交點(diǎn)為B（9，0）．
（1）求a的值，以及直線AB的解析式；
（2）若有一動(dòng)點(diǎn)M從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正半軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過M作直線l⊥x軸，直線l與△OAB的另一邊交點(diǎn)記為N，點(diǎn)O關(guān)于直線l作軸對(duì)稱變換，對(duì)稱點(diǎn)為Q，
①當(dāng)MN=2時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②連結(jié)AQ，若△QAB為直角三角形，則此時(shí)的MN的長為1.5或$\frac{3}{4}$（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=x，可求得a=3，然后利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）①當(dāng)交點(diǎn)N在OA上時(shí)，將y=2代入y=x，可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），從而可得到直線l的解析式為x=2，然后軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，當(dāng)交點(diǎn)N在AB上時(shí)，將y=2代入直線AB的解析式，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），從而可得到直線l的解析式為x=2，然后軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②先求得AB的長，然后根據(jù)∠AQB=90°或∠QAB=90°進(jìn)行分類計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵將（3，a）代入y=x得；a=3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kb+b，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{9k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$k=-\frac{1}{2}$，b=$\frac{9}{2}$．
∴直線AB的解析式為y=$-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$．
（2）①當(dāng)點(diǎn)N在OA上時(shí)．
∵將y=2代入y=x得；x=2，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）．
∴直線l的解析式為x=2．
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)O關(guān)于l對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）．
當(dāng)點(diǎn)N在AB上時(shí)．
∵將y=2代入y=-$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$得x=5，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，2）．
∴直線l的解析式為x=5．
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)O關(guān)于x=5對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，0）．
②∵點(diǎn)A（3，3）、B（9，0），
∴AB=$\sqrt{（9-3）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
當(dāng)∠QAB=90°時(shí)．
∵直線AB的一次項(xiàng)系數(shù)k=-$\frac{1}{2}$，
∴QB=AB×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=3$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=7.5．
∴OQ=1.5．
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{4}$．
將x=$\frac{3}{4}$時(shí)，代入y=x得：y=$\frac{3}{4}$．
∴MN=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)∠AQB=90時(shí)，AQ⊥OB，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3．
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1.5．
將x=1.5代入y=x得：y=1.5．
∴MN=1.5．
故答案為：1.5或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．