Question

13．閱讀以下內容：
（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，根據(jù)上面的規(guī)律得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（n為正整數(shù)）；根據(jù)這一規(guī)律，計算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．

Answer 1

分析 觀察給定的算式，根據(jù)算式的變化找出變化規(guī)律“（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1”，依此規(guī)律即可得出結論．

解答 解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，…，
∴（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1．
當x=2，n=2017時，
有（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶）=2²⁰¹⁷-1，
∴1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
故答案為：xⁿ-1；2²⁰¹⁷-1．

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關鍵是找出變化規(guī)律“（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)算式的變化找出變化規(guī)律是關鍵．