Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，因此只需將A、C兩點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，可設(shè)D點的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC的解析式可表示出E點的縱坐標(biāo)，即可得到DE的長，以DE為底，D點橫坐標(biāo)為高即可得到△CDE的面積，從而得到關(guān)于△CDE的面積與D點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△CDE的面積最大值及對應(yīng)的D點坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，可求出B點的坐標(biāo)，進而能得到直線BC的解析式，設(shè)出點P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC的解析式表示出P點的縱坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)系兩點間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長，從而根據(jù)：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關(guān)系求出符合條件的P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），C（0，-1），
則有：

1 2 ×4+2b+c=0 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

；
故拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

1

2

x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直線AC：y=

1

2

x-1；
設(shè)D（x，0），則E（x，

1

2

x-1），
故DE=0-（

1

2

x-1）=1-

1

2

x；
故△DCE的面積：S=

1

2

DE×|x_D|=

1

2

×（1-

1

2

x）×x=-

1

4

x²+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
因此當(dāng)x=1，
即D（1，0）時，△DCE的面積最大，且最大值為

1

4

．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設(shè)P（x，-x-1），因為A（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①如圖1，

當(dāng)AP=CP時，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
故P₁（2.5，-3.5）；
②如圖2，

當(dāng)AP=AC時，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
故P₂（1，-2）；
③如圖3，

當(dāng)CP=AC時，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

10

2

，
故P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且P點坐標(biāo)為：P₁（2.5，-3.5），P₂（1，-2），P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．