Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²-

7

2

x+

9

2

與直線y=

1

2

x+b交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB．
（1）求直線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)C，當(dāng)線段PC最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)及PC的最大值；
（3）當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出拋物線y=-x²-

7

2

x+

9

2

與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

2

x+b，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為y=

1

2

x-

1

2

，與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組

y= 1 2 x- 1 2 y=-x2- 7 2 x+ 9 2

，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（a，-a²-

7

2

a+

9

2

），則-5＜a＜1，C（a，

1

2

a-

1

2

），由PC=（-a²-

7

2

a+

9

2

）-（

1

2

a-

1

2

）=-a²-4a+5=-（a+2）²+9，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）過(guò)A作y軸的平行線l，再過(guò)P、B作l的垂線，垂足分別為M、N．根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△APM∽△BAN，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

PM

AN

=

AM

BN

，由此列出方程

1-a

3

=

-a2- 7 2 a+ 9 2

6

，解方程求出a的值，進(jìn)而求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=-x²-

7

2

x+

9

2

，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-x²-

7

2

x+

9

2

=0，
解得x₁=-

9

2

，x₂=1，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
將A（1，0）代入y=

1

2

x+b，
得0=

1

2

×1+b，
解得b=-

1

2

，
∴直線的解析式為y=

1

2

x-

1

2

．
由

y= 1 2 x- 1 2 y=-x2- 7 2 x+ 9 2

，解得

x1=1 y1=0

，

x2=-5 y2=-3

，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，-3）；

（2）設(shè)P（a，-a²-

7

2

a+

9

2

），則-5＜a＜1，可知C（a，

1

2

a-

1

2

），
∵PC=（-a²-

7

2

a+

9

2

）-（

1

2

a-

1

2

）=-a²-4a+5=-（a+2）²+9，
∴當(dāng)a=-2時(shí)，線段PC最大，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-

3

2

），PC的最大值為9；

（3）過(guò)A作y軸的平行線l，再過(guò)P、B作l的垂線，垂足分別為M、N．
∵∠PAB=90°，
∴∠PAM+∠BAN=90°，
∵∠PAM+∠APM=90°，
∴∠APM=∠BAN．
在△APM與△BAN中，

∠APM=∠BAN ∠AMP=∠BNA=90°

，
∴△APM∽△BAN，
∴

PM

AN

=

AM

BN

，即

1-a

3

=

-a2- 7 2 a+ 9 2

6

，
解得a₁=-

5

2

，a₂=1（不合題意舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

2

，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．