【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且對(duì)稱軸方程為.
(1)求拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)(3,0);(2)y=-x2+2x+3;(3)存在;符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或(2,3);(4)M(2,3)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)和對(duì)稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為;
(2)根據(jù)A、C、B的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出求拋物線的解析式;
(3)分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論,即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)根據(jù)勾股定理∠BCD=90°,再由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,3).
(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對(duì)稱軸方程為x=1,
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).
(2)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3)
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a不等于0),根據(jù)題意,得
a-b+3=0,9a+3b+3=0
解得a=-1,b=2,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3
(3)存在;
由y=-x2+2x+3得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),對(duì)稱軸為x=1
若以CD為底邊,則PD=PC,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)勾股定理得
x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y=4-x
又點(diǎn)P(x,y)在拋物線上,
∴4-x=-x2+2x+3即x2-3x+1=0
解得
(舍去)
∴
∴y=4-x=
即點(diǎn)P坐標(biāo)為;
若以CD為一腰,因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,
由拋物線對(duì)稱性知,點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3)
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或(2,3);
(4)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),
根據(jù)勾股定理,得CB=,CD=,BD=
∴CD2+CB2=BD2=20
∴∠BCD=90°
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點(diǎn)M,垂足為F,如圖所示:
在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°
由拋物線對(duì)稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,3)
∴DM//BC
∴四邊形BCDM為直角梯形
由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時(shí),頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底,且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在.
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【題目】如圖,點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),點(diǎn)E在BO上,EF垂直平分AB,垂足為F.
(1)求證:△BEF ∽△DCO;
(2)若AB=10,AC=12,求線段EF的長.
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【題目】如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.下面有三個(gè)推斷:①某次實(shí)驗(yàn)投擲次數(shù)是500,計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,則該次試驗(yàn)“釘尖向上”的頻率是0.616;②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618;③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí),“釘尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【題目】如圖,若AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD=( 。
A.116°B.32°C.58°D.64°
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【題目】為了對(duì)學(xué)生進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育,紅旗中學(xué)開展了“清明節(jié)祭掃”活動(dòng).全校學(xué)生從學(xué)校同時(shí)出發(fā),步行米到達(dá)烈士紀(jì)念館.學(xué)校要求九班提前到達(dá)目的地,做好活動(dòng)的準(zhǔn)備工作.行走過程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的倍,結(jié)果比其他班提前分鐘到達(dá).分別求九(1)班、其他班步行的平均速度.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,a)和B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),且滿足△ACP是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】 某水果公司以3元/kg的成本價(jià)新進(jìn)10000kg柑橘,如果公司希望這批柑橘能獲得利潤6000元,已知柑橘損壞率統(tǒng)計(jì)表如下,請(qǐng)你填寫最后一欄數(shù)據(jù),完成此表:
(1)損壞率的概率約是多少,并說明理由 (保留小數(shù)點(diǎn)后一位)
(2)在出售柑橘(去掉損壞的柑橘)時(shí),確定大約定價(jià)多少合適?
柑橘總質(zhì)量 | 損壞柑橘質(zhì)量 | 柑橘損壞的頻率 |
300 | 30.9 | 0.103 |
350 | 35.7 | 0.102 |
400 | 39.2 | 0.098 |
450 | 44.5 | 0.099 |
500 | 50.5 | ? |
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【題目】世界上大部分國家都使用攝氏溫度(℃),但美、英等國的天氣預(yù)報(bào)仍然使用華氏溫度(℉),兩種計(jì)量之間有如下的對(duì)應(yīng)表:
攝氏溫度(℃) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
華氏溫度(℉) | 32 | 50 | 68 | 86 | 104 | 122 |
由上表可以推斷出,華氏0度對(duì)應(yīng)的攝氏溫度是_____℃,若某一溫度時(shí)華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值相等,則此溫度為_____℃.
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【題目】如圖,在邊長為8的正方形中,、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn),且,為中點(diǎn),是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值是( )
A.10B.C.D.
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