Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=6，OB=8，D為邊OB的中點(diǎn)．
（1）若E為邊OA上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點(diǎn)，且EF=3，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

Answer 1

分析 （1）由于C、D是定點(diǎn)，則CD是定值，如果△CDE的周長最小，即DE+CE有最小值．為此，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，當(dāng)點(diǎn)E在線段C′D上時，△CDE的周長最小；
（2）由于DC、EF的長為定值，如果四邊形CDEF的周長最小，即DE+FC有最小值．為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG=3，當(dāng)點(diǎn)E在線段D′G上時，四邊形CDEF的周長最�。�

解答 解：（1）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D與x軸交于點(diǎn)E，連接CE．

若在邊OA上任取點(diǎn)E′（與點(diǎn)E不重合），連接CE′、DE′、C′E′，
由DE′+CE′=DE′+C′E′＞C′D=C′E+DE，
可知△CDE的周長最�。�
∵在矩形OACB中，OA=6，OB=8，D為邊OB的中點(diǎn)，
∴BC=6，BD=OD=4，
∴點(diǎn)D（0，4），點(diǎn)C′（6，-8）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{6k+b=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線C′D的解析式為y=-2x+4．
當(dāng)y=-2x+4=0時，x=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）．
故答案為：（2，0）．
（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG=3，連接D′E與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取EF=3，如圖2所示．

∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，GE=CF．
又∵DC、EF的長為定值，
∴此時得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長最小，
∵OE∥BC，
∴△D′OE∽△D′BG，
∴$\frac{OE}{BG}=\frac{D′O}{D′B}$，
BG=BC-CG=6-3=3，D′O=DO=4，D′B=D′O+OB=4+8=12，
∴OE=$\frac{D′O•BG}{D′B}$=$\frac{4×3}{12}$=1．
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．
故答案為：（1，0）．

點(diǎn)評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．