【題目】已知:如圖,在RtABCRtABD中,∠ACB90°,∠ABD90°,ABBD,BC4,(點(diǎn)A、D分別在直線BC的上下兩側(cè)),點(diǎn)GRtABD的重心,射線BG交邊AD于點(diǎn)E,射線BC交邊AD于點(diǎn)F

1)求證:∠CAF=∠CBE

2)當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上,AC1時(shí),求BF的長(zhǎng);

3)若△BGC是以BG為腰的等腰三角形,試求AC的長(zhǎng).

【答案】1)見(jiàn)解析;(2BF;(3AC22

【解析】

1)根據(jù)重心的定義可得BERtABD的中線,然后根據(jù)三線合一可得∠AEB90°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證出結(jié)論;

2過(guò)點(diǎn)DDHBCH,利AAS證出△ABC≌△BDH,從而可得ACBH1,HDBC4,然后根據(jù)相似三角形的判定證出△AFC∽△DFH,列出比例式即可求出結(jié)論;

3)根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論,分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形,根據(jù)重心的定義、垂直平分線的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理即可分別求出結(jié)論.

1)∵點(diǎn)GRtABD的重心,

BERtABD的中線,

又∵在RtABC中,∠ABD90°,ABBD

BEAD,即∠AEB90°,

∵∠AFB=∠ACF+FAC=∠FBE+BEF,且∠ACF=∠BEF90°,

∴∠CAF=∠CBE;

2)過(guò)點(diǎn)DDHBCH

∵∠ABD90°,

∴∠ABC+DBC90°,且∠ABC+BAC90°,

∴∠BAC=∠DBC,且ABBD,∠ACB=∠BHD,

∴△ABC≌△BDHAAS

ACBH1HDBC4,

HC3,

∵∠ACB=∠DHC90°,∠AFC=∠DFH,

∴△AFC∽△DFH,

CFHF,

HF,

BFBH+HF1+;

3)當(dāng)GCGB時(shí),如圖,連接DG并延長(zhǎng)交BCH,交ABN,連接NC,

∵點(diǎn)GRtABD的重心,

ANBN,

∵∠ACB90°,

BNNCAN,

∴點(diǎn)NBC的垂直平分線上,

BGGC,

∴點(diǎn)GBC的垂直平分線上,

DN垂直平分BC,

BHHC2,DHBC,

∵∠ABD90°,

∴∠ABC+DBC90°,且∠ABC+BAC90°,

∴∠BAC=∠DBC,且ABBD,∠ACB=∠BHD,

∴△ABC≌△BDHAAS

ACBH2;

BGBC4,如圖,

∵點(diǎn)GRtABD的重心,

BG2GE,

GE2,

BE6,

∵∠ABD90°,ABBDBEAD

BEAE6,

ABAE6,

AC2,

綜上所述:AC22

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

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1)乙恰好游玩景點(diǎn)的概率為    

2)用列表或畫樹狀圖的方法列出甲、乙恰好游玩同一景點(diǎn)的所有等可能的結(jié)果.并求甲、乙恰好游玩同一景點(diǎn)的概率.

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1)將圖1補(bǔ)充完整;

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