Question

10．如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，某教學(xué)興趣小組在進(jìn)行研究時(shí)，由“黃金分割點(diǎn)”聯(lián)想到“黃金分割線”，類似的給出“黃金分割線”的定義：“一直線將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，那么稱這條直線為該圖形的黃金分割線．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點(diǎn)D，請(qǐng)問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖3，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，若直線AE是正方形ABCD的黃金分割線，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖2，根據(jù)等高三角形的面積比等于底的比可得$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，要證直線CD是△ABC的黃金分割線，只需證$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$，只需證$\frac{BD}{DA}$=$\frac{DA}{BA}$，易證BC=AD，只需證$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{BA}$，只需證△BCD∽△BAC即可；
（2）設(shè)BE=x，如圖3，易得S_△ABE=$\frac{1}{2}$x，S_{正方形ABCD}=1，S_{四邊形ADCE}=1-$\frac{1}{2}$x．由直線AE是正方形ABCD的黃金分割線可得$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四邊形ADCE}}$=$\frac{{S}_{四邊形ADCE}}{{S}_{正方形ABCD}}$，由此得到關(guān)于x的方程，解這個(gè)方程就可解決問題．

解答 解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．
理由：如圖2，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-36°}{2}$=72°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°，
∴∠BDC=72°=∠B，∠A=∠ACD，
∴BC=DC，AD=DC，
∴BC=AD．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{BD}{DA}$=$\frac{DA}{BA}$．
∵$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）設(shè)BE=x，如圖3，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$x，S_{正方形ABCD}=1²=1，
∴S_{四邊形ADCE}=1-$\frac{1}{2}$x．
∵直線AE是正方形ABCD的黃金分割線，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四邊形ADCE}}$=$\frac{{S}_{四邊形ADCE}}{{S}_{正方形ABCD}}$，
∴S_{四邊形ADCE}²=S_△ABE•S_{正方形ABCD}，
∴（1-$\frac{1}{2}$x）²=$\frac{1}{2}$x•1，
整理得：x²-6x+4=0，
解得：x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3-$\sqrt{5}$．
∵點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，
∴x＜1，
∴x=3-$\sqrt{5}$，
∴BE長(zhǎng)為3-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于新定義型，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等高三角形的面積比等于底的比、解一元二次方程等知識(shí)，利用等高三角形的面積比等于底的比是解決第（1）小題的關(guān)鍵；利用黃金分割線的定義是解決第（2）小題的關(guān)鍵．