【題目】如圖,在 Rt△POQ中,OP=OQ=4,M PQ中點,把一個三角尺頂點放在點M處,以M為旋轉(zhuǎn)心,旋轉(zhuǎn)三角尺,三角尺的兩直角邊與 Rt△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

(1)求證:MA=MB;

(2)探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中,四邊形AOBM的面積是否發(fā)生變化?為什么?

(3)連接 AB,探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中,△AOB的周長是否存在最小值?若存在,求出最小值.

【答案】1見解析;(2)四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化, 理由見解析;(3) x=2 ,△AOB 的周長有最小值,最小值為=4+2

【解析】

(1)過點 M MEOP 于點 E,作 MFOQ 于點 F,根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形 OEMF 是正方形,證明△AME≌△BMF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積;

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到得到 AE=BF,設 OA=x,根據(jù)勾股定理得到AB=,根據(jù)三角形的周長公式,二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

1)過點 M MEOP 于點 E,作 MFOQ 于點 F,

∵∠O=90°,∠MEO=90°,∠OFM=90°,

∴四邊形 OEMF 是矩形,

M PQ 的中點,OP=OQ=4,

ME=OQ=2MF=OP=2,

ME=MF

∴四邊形 OEMF 是正方形,

∵∠AME+AMF=90°,∠BMF+AMF=90°,

∴∠AME=BMF

在△AME 和△BMF 中,

∴△AME≌△BMFASA),

MA=MB;

(2)四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化, 理由如下:∵△AME≌△BMF

∴四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積=4;

(3)∵△AME≌△BMF

AE=BF,

OA=x,則 AE=2x,

OB=OF+BF=2+2x=4x

RtAME 中,AM== ,

∵∠AMB=90°,MA=MB,

AB=AM=

AOB 的周長=OA+OB+AB

=x+4x+

=4+,

則當 x=2 ,△AOB 的周長有最小值最小值為=4+2

練習冊系列答案
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