Question

4．已知：如圖，P是線段AB上的一點，分別以線段AP，PB為一邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，連接EF，點G，M，N，H分別是四邊形ABFE的邊AB，BF，F(xiàn)E，EA的中點，連接HG，GM，MN和NH．求證：四邊形GMNH為菱形．

Answer 1

分析 欲證明四邊形GMNH為菱形，只要證明HN=HG=GM=MN，由題意HN=GM=$\frac{1}{2}AF$，HG=MN=$\frac{1}{2}EB$，所以只要證明AF=EB，利用△APF≌△EPB即可證明．

解答 證明：∵△APE和△PBF都是等邊三角形，
∴AP=PE，PF=PB，∠APE=∠FPB=60°，
∴∠APF=∠EPB，
在△APF和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}\\{∠APF=∠EPB}\\{PF=PB}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△EPB，
∴AF=EB，
∵EH=HA，EN=NF，
∴HN=$\frac{1}{2}AF$，同理GM=$\frac{1}{2}AF$，HG=MN=$\frac{1}{2}EB$，
∴HN=HG=GM=MN，
∴四邊形MNHG是菱形．

點評 本題考查菱形的判定、三角形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形證明線段AF=EB，聲音中考�？碱}型．