Question

【題目】
（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．
填空：
①∠AEB的度數(shù)為；
②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）拓展探究 如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題 如圖3，在正方形ABCD中，CD= ，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AD=BE
（2）解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）解：點(diǎn)A到BP的距離為 或 ．

理由如下：

∵PD=1，

∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，

∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．

∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC= ，∠BAD=90°．

∴BD=2．

∵DP=1，

∴BP= ．

∵∠BPD=∠BAD=90°，

∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，

∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，

∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．

∴ =2AH+1．

∴AH= ．

②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長線于點(diǎn)E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴ =2AH﹣1．

∴AH= ．

綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為 或 ．

【解析】解：（1）①如圖1， ∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
所以答案是：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
所以答案是：AD=BE．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能正確解答此題．