Question

12．如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)M是邊AB上任意一點(diǎn)（可與A，B重合），作MD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，作EN⊥AB于N，給出以下結(jié)論：①M(fèi)N的最大值是$\frac{3}{2}$；②當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，AN=$\frac{5}{8}$；③當(dāng)M，N重合時(shí)，AN=$\frac{2}{3}$；④當(dāng)△MBD≌△EAN時(shí)，AN=$\frac{1}{2}$，其中正確的結(jié)論有②③．

Answer 1

分析 ①先解直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得到MN的最大值是3，故①錯(cuò)誤；
②由M是AB的中點(diǎn)，得到BM=1，BD=$\frac{1}{2}$，解方程得到AN=$\frac{5}{8}$；故②正確；
③列方程即可得到AN=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，故③正確；
④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=AE=2AN，列方程即可得到AN=$\frac{2}{3}$，故④錯(cuò)誤．

解答 解：①∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，MB的長(zhǎng)為x，MD⊥BC于D，DE⊥AC于E，EN⊥AB于Q，
∴∠MDB=∠DEC=∠ENA=90°，∠NBD=∠CDE=∠AEN=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$x，CD=4-$\frac{x}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{x}{2}$）=2-$\frac{x}{4}$，AE=4-（2-$\frac{x}{4}$）=2+$\frac{x}{4}$，AN=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{x}{4}$）=1+$\frac{x}{8}$，
∴當(dāng)M在N下方時(shí)，y=AB-MB-AN=4-x-（1+$\frac{x}{8}$）=-$\frac{x}{8}$+3，
當(dāng)M在N上方時(shí)，y=AM-AN=（1+$\frac{x}{8}$）-（4-x）=$\frac{9}{8}$x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{8}{3}$，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，
∴MN的最大值是3，故①錯(cuò)誤；
②∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴BM=1，BD=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$，
∴AN=$\frac{5}{8}$；故②正確；
③設(shè)BM=x，則AN=2-x，
∴BD=$\frac{1}{2}$x，∴CD=2-$\frac{x}{2}$，
∴CE=1-$\frac{x}{4}$，
∴AE=2-1+$\frac{x}{4}$=1+$\frac{x}{4}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{8}$=2-x，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴AN=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，故③正確；
④∵△MBD≌△EAN，
∴BM=AE=2AN，
設(shè)AN=x，
∴BM=2x，
∴BD=AN=x，
∴CD=2-x，CE=2-2x，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD=1-$\frac{x}{2}$，
∴1-$\frac{x}{2}$=2-2x，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{3}$，故④錯(cuò)誤，
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．