Question

△ABC中，O是△ABC外角∠DAC平分線上任意一點(diǎn)，連接OB、OC．
（1）比較AB+AC與OB+OC的關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)O是（1）中△ABC的外角∠DAC的平分線的反向延長(zhǎng)線AP上任意一點(diǎn)，連接OB，OC，畫出圖形，判斷AB+AC與OB+OC之間的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）在BA延長(zhǎng)線上截取AD=AC，連接DO，由AO平分∠DAC，得到一對(duì)角相等，利用SAS得到△ADO≌△ACO，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到PC=PD，在三角形BOD中，根據(jù)三邊關(guān)系得到OB+OD＞BD，等量代換即可得證；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，在AC上截取AE=AB，連接OE，由AO平分∠BAC，得到一對(duì)角相等，利用SAS得到△ABO≌△AEO，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BO=EO，在三角形OEC中，利用三角形三邊關(guān)系得到OE+OC＞EC，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：在BA延長(zhǎng)線上截取AD=AC，連接DO，
∵AO平分∠DAC，
∴∠DAO=∠CAO，
在△ADO和△ACO中，

AD=AC ∠DAO=∠CAO AO=AO

∴△ADO≌△ACO（SAS），
∴PC=PD，
在△BOD中，OB+OD＞BD=AB+AD，
∴OB+OC＞AB+AC；

（2）解：如圖所示：在AC上截取AE=AB，連接OE，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠EAO，
在△ABO和△AEO中，

AB=AE ∠BAO=∠EAO AO=AO

，
∴△ABO≌△AEO（SAS），
∴BO=EO，
在△OEC中，OE+OC＞EC，即OB+OC＞EC=AC-AE=AC-AB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．