Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，在中，平分，．求證：

小明通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題：

方法1：如圖2，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題

方法二：如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題

（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明

（2）根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)或參考小明的方法，解決下面的問(wèn)題：如圖4，四邊形中，是上一點(diǎn)，，，，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）方法一，在上截取，使得，連接，用SAS定理證明，然后得到，，從而得到，然后利用等角對(duì)等邊求證，使問(wèn)題得解；

方法二，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠ABC=2∠E，從而得到∠E=∠C，利用AAS定理證明△AED≌△ACD，從而求解；

（2）在上截取，使得，連接，利用三角形外角的性質(zhì)求得，從而得到，利用SAS定理證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解．

解：（1）方法一：如圖2，在上截取，使得，連接，

∵平分，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∴

方法二：如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，

∵平分，

∴

∵

∴∠ABC=2∠E

又∵

∴∠E=∠C

∵AD=AD

∴△AED≌△ACD

∴AC=AE=AB+BE=AB+BD

（2）在上截取，使得，連接

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴,

∵

∴

∴

∴

∴．