Question

16．如圖，AD為△ABC的角平分線，G為BC中點(diǎn)，GE∥AD，分別交BA的延長線于E，交AC于F，求證：
（1）BE=CF；
（2）CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

Answer 1

分析 （1）過B作BN‖AC交EG延長線于N點(diǎn)，即可證明BN=CF，然后利用等角對等邊證明△BEN是等腰三角形即可；
（2）首先證明AE=AF，然后利用等量代換證明AB+AC=BE+FC即可證得．

解答 證明：（1）過B作BN‖AC交EG延長線于N點(diǎn)，
∵BN‖AC，BG=CG，
∴CF=BN，∠CFG=∠N，
又∵AD‖EG，AD平分∠BAC，
∴∠CFG=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴BE=BN，
∴BE=CF；
（2）∵∠EFA=∠CFG，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，即BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，把證明BE=CF的問題轉(zhuǎn)化為證明△BEN是等腰三角形問題是關(guān)鍵．