Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+15分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，交直線y=x于點(diǎn)M．動(dòng)點(diǎn)C在直線AB上以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D以每秒a個(gè)單位的速度從點(diǎn)0沿OA的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)D同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和AM的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)t=5時(shí)，線段CD交OM于點(diǎn)P，且PC=PD，求a的值．

（3）在點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①直接用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)．

②利用（2）的結(jié)論，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角△CDE（點(diǎn)C，D，E按逆時(shí)針順序排列），當(dāng)OM與△CDE的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）A(20，0)，10；（2）2；（3）①，②或或4

【解析】

（1）在中，令，得點(diǎn)A坐標(biāo)，聯(lián)立AB，OM解析式，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作軸垂線，垂足為G，由M坐標(biāo)得出OG，MG，AG長(zhǎng)度，由勾股定理可得結(jié)果．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CQ軸交OM延長(zhǎng)線與Q，證明△CPQ≌△DPO（AAS），得出CQ=OD，解出CQ長(zhǎng)度即可．

（3）①作CK軸與K，由CK軸，得，解出CK，代入中，得．

②當(dāng)OM于△CDE的一邊，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OMCD 時(shí)，用解得t值；當(dāng)OMCE時(shí)，用CK=2DK解得t值；當(dāng)OMDE時(shí)，證明△CDK≌△CEG，用DH=2EH解得t值．

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=20

∴點(diǎn)A（20，0）；

∵兩直線相交于點(diǎn)M

∴，解得：

∴點(diǎn)M（12，6）

過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OA于點(diǎn)G

∴OG=12，MG=6

∴AG=20-12=8

在Rt△AMG中，

;

（2）∵動(dòng)點(diǎn)C在直線AB上以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D以每秒個(gè)單位的速度從點(diǎn)0沿OA的方向運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)t=5時(shí)則AC=15，OD=5，AB=25

點(diǎn)C（8，9）

過(guò)點(diǎn)C作CQ∥x軸交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∴點(diǎn)Q（18，9）

∴CQ=18-8=10，

∵CQ∥x軸

∴∠G=∠DOP

在△CPQ和△DPO中，

∴△CPQ≌△DPO（AAS）

∴CQ=OD

即5=10，解之：=2.

（3）解：①過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，

由題意可知AC=3t，AB=25，OB=15，

∴CK∥y軸，

∴△ACK∽△ABO

∴即

解之：

當(dāng)時(shí)，則

解之：

∴點(diǎn);

②由①可知CK= ， OK=

∵AC=3t，OD=2t，tan∠MOA=

當(dāng)CD∥OM時(shí)，

即

解之：t=；

當(dāng)CE∥OM時(shí)，

∴∠ECD=∠CPO=90°

∴∠DCK+∠CDK=∠DOP+∠CDK=90°

∴∠DCK=∠DOP

∴tan∠DCK=

∴CK=2DK

∴DK=OD-OK=

∴

解之：;

當(dāng)DE∥OM時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)C作CG∥x軸交HE于點(diǎn)G，

∵等腰直角△CDE

∴CD=CE

易證△CDK≌△CEG，

∴CK=CG=GH= ， ,

,

,

∵OM∥ED，

∴∠MOA=∠EDH，

∴DH=2EH

∴

解之：t=4.

∴t的值為或或4.