Question

20．閱讀理解
基本性質：三角形中線等分三角形的面積．
如圖，AD是△ABC邊BC上的中線，則S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC
理由：∵AD是△ABC邊BC上的中線
∴BD=CD
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD×AH；S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD×AH
∴S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴三角形中線等分三角形的面積
基本應用：

（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．則S_△ACD與S_△ABC的數量關系為：S_△ABC=S_△ACD；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，延長△ABC的邊CA到點E，使AE=AC，連接DE．則S_△CDE與S_△ABC的數量關系為：S_△CDE=2S_△ABC（請說明理由）；
（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使FB=AB，連接FD，FE，得到△DEF（如圖3）．則S_△EFD與S_△ABC的數量關系為：S_△EFD=7S_△ABC；
拓展應用：如圖4，點D是△ABC的邊BC上任意一點，點E，F分別是線段AD，CE的中點，且△ABC的面積為
18cm²，則△BEF的面積為4.5cm²．

Answer 1

分析 （1）由△ABC與△ACD中BC=CD，由三角形中線等分三角形的面積即可結果；
（2）連接AD，由CD=BC，由三角形中線等分三角形的面積，同理可得△AED與△ADC面積相等，而△CDE面積等于兩三角形面積之和，即可得出結果；
（3）連接AD，EB，FC，根據第二問的思路，同理可得陰影部分的面積等于6倍的△ABC面積，即可得出結果；
拓展應用：點E是線段AD的中點，由三角形中線等分三角形的面積，求得S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，由點F是線段CE的中點，根據三角形中線等分三角形的面積，求得S_△BEF=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_△BCE，即可求出△BEF的面積．

解答 解：（1）∵BC=CD，三角形中線等分三角形的面積，
∴S_△ABC=S_△ACD；
故答案為：S_△ABC=S_△ACD；
（2）連接AD，如圖1所示：
∵BC=CD，三角形中線等分三角形的面積，
∴S_△ABC=S_△ADC，
同理S_△ADE=S_△ADC，
∴S_△CDE=2S_△ABC；
故答案為：S_△CDE=2S_△ABC；
（3）連接AD，EB，FC，如圖2所示：
由（2）得：S_△CDE=2S_△ABC，
同理可得：S_△AEF=2S_△ABC，S_△BFD=2S_△ABC，
∴S_△EFD=S_△CDE+S_△AEF+S_△BFD+S_△ABC=2S_△ABC+2S_△ABC+2S_△ABC+S_△ABC=7S_△ABC；
故答案為：S_△EFD=7S_△ABC；
拓展應用：
∵點E是線段AD的中點，由三角形中線等分三角形的面積，
∴S_△ABE=S_△BDE，S_△ACE=S_△CDE，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵點F分別是線段CE的中點，由三角形中線等分三角形的面積，
∴S_△BEF=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_△BCE，
∴S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×18=4.5（cm²）；
故答案為：4.5．

點評 本題是面積及等積變換綜合題目，考查了三角形的面積及等積變換，本題有一定難度，需要通過作輔助線，運用三角形中線等分三角形的面積才能得出結果．