Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= x2﹣ x﹣ 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值；
（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y= x2﹣ x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2﹣ x﹣ ，

∴y= （x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當(dāng)x=4時，y= ．

∴E（4， ）．

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k= ，b= ．

∴直線AE的解析式為y= x+ ．

（2）

解：設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：4m﹣ = ，解得：m= ．

∴直線CE的解析式為y= x﹣ ．

過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x2﹣ x﹣ ），則點(diǎn)F（x， x﹣ ），

則FP=（ x﹣ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）= x2+ x．

∴△EPC的面積= ×（ x2+ x）×4=﹣ x2+ x．

∴當(dāng)x=2時，△EPC的面積最大．

∴P（2，﹣ ）．

如圖2所示：作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點(diǎn)，

∴k（ ，﹣ ）．

∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對稱，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）．

∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對稱，

∴點(diǎn)G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH= =3．

∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）

解：如圖3所示：

∵y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F（3，﹣ ）．

∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，

∴G（2， ）．

∴FG= = ．

∴當(dāng)FG=FQ時，點(diǎn)Q（3， ），Q′（3， ）．

當(dāng)GF=GQ時，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y= 對稱，

∴點(diǎn)Q″（3，2 ）．

當(dāng)QG=QF時，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，a）．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：a+ = ，解得：a=﹣ ．

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，﹣ ）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3， ）或′（3， ）或（3，2 ）或（3，﹣ ）．

【解析】（1）拋物線的解析式可變形為y= （x+1）（x﹣3），從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得m的值，從而得到直線CE的解析式，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x2﹣ x﹣ ），則點(diǎn)F（x， x﹣ ），則FP= x2+ x．由三角形的面積公式得到△EPC的面積=﹣ x2+ x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．然后利用軸對稱的性質(zhì)可得到點(diǎn)G和點(diǎn)H的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分為QG=FG、QG=QF，F(xiàn)Q=FQ三種情況求解即可．