【題目】如圖,正方形ABCD中,EAB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)EEFAB交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.連接ECBD于點(diǎn)G.取DF的中點(diǎn)H,并連接AH.若AH=,EG=,則四邊形AEFH的面積為___

【答案】

【解析】

如圖,連接HE,HC,作HMABM,延長(zhǎng)MHCDN.證明ADHCDH,得到AH=CH=,證明四邊形AMND是矩形,得到AM=DN,進(jìn)而得到EM=HN

證明RtHMERtCNH,得到∠MHE=HCN,設(shè)EF=BE=4a,則BC=AB=10a,AE=6a,AM=ME=3a,根據(jù)EFHM,得到=,進(jìn)而得到HM=7a,進(jìn)而求出S四邊形AEFH

,在RtBEC中,根據(jù)勾股定理得到16a2+100a2=4,即可求出的值,進(jìn)而得到四邊形AEFH的面積.

如圖,連接HEHC,作HMABM,延長(zhǎng)MHCDN

∵四邊形ABCD是正方形,

DA=DC,∠ADH=CDH=45°,

DH=DH,

ADHCDHSAS),

AH=CH=

EFAB,HMAB,DAAB

EFHMAD,

HF=HD,

AM=EM

HA=HE=HC,

∵∠AMN=DAM=ADN=90°

∴四邊形AMND是矩形,

AM=DN,

由題可證得DN=HN

又∵AM=EM,

EM=HN

RtHMERtCNHHL),

∴∠MHE=HCN

∵∠HCN+CHN=90°

∴∠MHE+CHN=90°,

∴∠EHC=90°,

EC=HE=2

EG=,

GC=2–=,

EFBC,

==,

設(shè)EF=BE=4a,則BC=AB=10aAE=6a,AM=ME=3a,

EFHM,

=,

=,

HM=7a,

S四邊形AEFH=SAMH+S梯形EFHM=×3a×7a+4a+7a×3a=27a2,

RtBEC中,

BE2+BC2=EC2,

16a2+100a2=4,

a2=,

S四邊形AEFH=

故答案為:

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【題目】綜合與實(shí)踐:折紙中的數(shù)學(xué)

問題背景

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落到D′處,折痕為EF.這時(shí)同學(xué)們很快證得:△AEF是等腰三角形.接下來各學(xué)習(xí)小組也動(dòng)手操作起來,請(qǐng)你解決他們提出的問題.

操作發(fā)現(xiàn)

(1) “爭(zhēng)先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊,如圖②,發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形,求矩形ABCD的長(zhǎng)、寬之比是多少?

實(shí)踐探究

(2)“勵(lì)志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊,如圖③,使B點(diǎn)落在AD邊上的B′處;沿BG折疊,使D點(diǎn)落在D′處,且BD′過F點(diǎn).試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形?

(3)再探究:在圖③中連接BB′,試判斷并證明△BBG的形狀.

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【題目】如圖,已知的直徑、的三等分點(diǎn),上兩點(diǎn),且,求的值.

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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,CD為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn),∠ABD2BAC,連接CD,過點(diǎn)CCEDB,垂足為E,直徑ABCE的延長(zhǎng)線相交于F點(diǎn).

1)求證:CF是⊙O的切線;

2)當(dāng)BD,sinF時(shí),求OF的長(zhǎng).

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【題目】如圖,在單位為1的方格紙上,A1A2A3,A3A4A5,A5A6A7,都是斜邊在x軸上,斜邊長(zhǎng)分別為2,46,的等直角三角形,若A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A12,0),A21,1),A30,0),則依圖中所示規(guī)律,A2019的坐標(biāo)為(

A.(﹣1008,0B.(﹣1006,0C.2,﹣504D.1,505

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2)如圖2,在正方形ABCD中,EAB上一點(diǎn),GAD上一點(diǎn),如果∠GCE45°,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明:GEBEGD

3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:

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