Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ORPT≌矩形OGHK，已知R（2a，0），T（0，2b），函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象分別與KH、HG、TP、PR交于點(diǎn)D、F、E、C，且已知點(diǎn)E是TP的中點(diǎn)．
（1）試問點(diǎn)C是PR的中點(diǎn)嗎？請證明你的結(jié)論，并分別直接寫出點(diǎn)D、F的坐標(biāo)（可含a、b）．
（2）如圖2，若直線DC交x軸于點(diǎn)A（10，0），交y軸于點(diǎn)B（0，10），且S_△ODC=8S_△OAC，試求函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的解析式．
（3）在（2）的條件下，將△OCD和函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設(shè)它與△OAB的重疊部分的面積為S．
①試求直線CD平移3秒后對應(yīng)的解析式；
②求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式．（0＜t＜10）

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別作CM⊥y軸于點(diǎn)M，EN⊥x軸于點(diǎn)N，根據(jù)S_矩形ENOT=S_矩形CROM，判斷出點(diǎn)C是PR的中點(diǎn)，求出點(diǎn)D、F的坐標(biāo)；
（2）求出S_△OAB=

1

2

•OA•OB=50，再根據(jù)S_△ODC=8S_△OAC，且易知S_△OBD=S_△OAC，求出DK=1，進(jìn)一步求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9）；
（3）①求出平移后C、D坐標(biāo)，設(shè)直線CD此時(shí)的解析式為y=k′x+b，代入求值即可；
②根據(jù)MN∥C′D′，得到△O′MN∽△ODC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出S=

2

5

t²-8t+40（0＜t＜10）．

解答：解：（1）如圖1，分別作CM⊥y軸于點(diǎn)M，EN⊥x軸于點(diǎn)N，則有ENOT及CROM均為矩形，
且S_矩形ENOT=S_矩形CROM，
即OT•TE=MO•OR．
又∵TE=

1

2

TP=

1

2

OR，OT•

1

2

OR=MO•OR，
∴MO=CR=

1

2

TO=

1

2

PR，
∴點(diǎn)C是PR的中點(diǎn)．
D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，2a），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2b，a）．

（2）如圖2，
∵A（10，0）、B（0，10），
∴OA=10，OB=10．
∴S_△OAB=

1

2

•OA•OB=50，
又∵S_△ODC=8S_△OAC，
且易知S_△OBD=S_△OAC，
∴S_△OBD=

1

10

S_△OAB=5，
即

1

2

•DK•OB=

1

2

•DK•10=5，DK=1．
又∵在Rt△OAB中，OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴BK=DK=1．
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9）．
把x=1，y=9代入y=

k

x

中，得k=9．
∴y=

k

x

（k＞0）的函數(shù)解析式為y=

9

x

．

（3）①由（2）知C（9，1）、D（1，9），
故當(dāng)直線向右平移3秒（即3個(gè)單位長度）后，
C、D的坐標(biāo)分別為（12，1）、（4，9）．
設(shè)直線CD此時(shí)的解析式為y=k′x+b，那么有

12k′+b=1 4k′+b=9

，
解得

k′=-1 b=13

．
故此時(shí)直線CD此時(shí)的解析式為y=-x+13．
②當(dāng)平移t秒后，即OO′=t（如圖3）．
由平移知MN∥C′D′，
∴△O′MN∽△O′D′C′，
∴△O′MN∽△ODC．
∴

S△O′MN

S△ODC

=（

O′N

OC

）²，
即

S

S△ODC

=（

O′N

OC

）²．
又∵O′N∥OC，
∴△O′AN∽△OAC，
得

O′N

OC

=

O′A

OA

=

10-t

10

，
同時(shí)S_△ODC=

8

10

S_△OAB=

8

10

×50=40，
故

S

40

=（

10-t

10

）²，
∴S=

2

5

t²-8t+40（0＜t＜10）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的知識，涉及反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問題等知識，綜合性較強(qiáng)．