Question

如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標；
（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；作點M₁關(guān)于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，-1）；連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM₂最�。�

解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=2，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+k．
將A（-1，0），C（0，5）代入得：

9a+k=0 4a+k=5

，解得

a=-1 k=9

，
∴y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．

（2）當a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．
設(shè)P（x，-x²+4x+5），
如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=-x²+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x²+4x+4．

S_{四邊形MEFP}=S_梯形OFPN-S_△PMN-S_△OME
=

1

2

（PN+OF）•ON-

1

2

PN•MN-

1

2

OM•OE
=

1

2

（x+2）（-x²+4x+5）-

1

2

x•（-x²+4x+4）-

1

2

×1×1
=-x²+

9

2

x+

9

2

=-（x-

9

4

）²+

153

16

∴當x=

9

4

時，四邊形MEFP的面積有最大值為

153

16

，
把x=

9

4

時，y=-（

9

4

-2）²+9=

143

16

．
此時點P坐標為（

9

4

，

143

16

）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，
∴點P的縱坐標為3．
令y=-x²+4x+5=3，解得x=2±

6

．
∵點P在第一象限，∴P（2+

6

，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．
如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；
作點M₁關(guān)于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，-1）；
連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM₂最小．

設(shè)直線PM₂的解析式為y=mx+n，將P（2+

6

，3），M₂（1，-1）代入得：

(2+ 6 )m+n=3 m+n=-1

，解得：m=

4 6 -4

5

，n=-

4 6 +1

5

，
∴y=

4 6 -4

5

x-

4 6 +1

5

．
當y=0時，解得x=

6 +5

4

．∴F（

6 +5

4

，0）．
∵a+1=

6 +5

4

，∴a=

6 +1

4

．
∴a=

6 +1

4

時，四邊形PMEF周長最�。�

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱-最短路線的性質(zhì)．試題計算量偏大，注意認真計算．