Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸的正半軸相交于點A，過點A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸負(fù)半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于點N，交⊙P于點D．
（1）填空：點A的坐標(biāo)是

 

，⊙P半徑的長是

 

；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點的坐標(biāo)；
（3）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先將B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線方程，再根據(jù)題意求得⊙P半徑，進(jìn)而求得拋物線方程；
（2）根據(jù)S_△BNC：S_△AOB=15：2求出N點的y坐標(biāo)，將y_N代入拋物線方程即可求得N點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和射影定理便可求得MB•MD的值．

解答：解：（1）將B（2，0）、C（8，0）兩點坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c=0 64a+8b+c=0

解得

b=-10a c=16a

 ①
由題意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y軸，
設(shè)P點坐標(biāo)為P（5，y_A ），由題意可知PA=PB=PC=5，
根據(jù)勾股定理可求得y_A=4，
∴A點坐標(biāo)是（0，4），⊙P半徑為的長為5，．
故答案為：（0，4），5；

（2）設(shè)點N的縱坐標(biāo)為h．
將A點坐標(biāo)（0，4）代入拋物線方程可得4=c，
聯(lián)立①式便可解得a=

1

4

，b=

5

2

．
∴拋物線的方程為y=

1

4

x²-

5

2

x+4，
∴S_△BNC：S_△AOB=

1 2 BC•h

1 2 OB•OA

=

6h

2×4

=

15

2

，
解得h=10，
將h=10代入拋物線的方程y=

1

4

x²-

5

2

x+4得：

1

4

x²-

5

2

x+4=10
解得 x₁=-2，x₂=12，
觀察圖形可知x₂=12符合題意，
∴N點的坐標(biāo)為N（12，10）；

（3）由題意可知△AOB∽△DBA，

AB

DA

=

AO

DB

=

OB

BA

，
∵OA=4，OB=2，
由勾股定理可知AB=2

5

，根據(jù)三角形相似可知BD=4

5

，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
（2

5

）²=MB×4

5

，
解得MB=

5

5

，MD=MB+BD=

5

5

+4

5

=

21 5

5

，
∴MB•MD=

5

5

×

21 5

5

=

21

5

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的相似的性質(zhì)和射影定理等知識點，是各地中考的熱點和難點，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．