Question

在△ABC中，AB=

2

，點(diǎn)D在BC邊上，BD=2DC，cos∠DAC=

3 10

10

，cos∠C=

2 5

5

，則AC+BC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：根據(jù)三角形的邊角關(guān)系結(jié)合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的長(zhǎng)度，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵BD=2DC，
∴設(shè)CD=x，AD=y，則BD=2x，
∵cos∠DAC=

3 10

10

，cos∠C=

2 5

5

，
∴sin∠DAC=

10

10

，sin∠C=

5

5

則由正弦定理得：

AD

sinC

=

CD

sin∠DAC

，
即

y

5 5

=

x

10 10

，即y=

2

x，
sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=

10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

2

，
則∠ADB=

π

4

，∠ADCADC=

3

4

π，
在△ABD中，AB²=BD²+AD²-2AD•BDcos

π

4

，
即2=4x²+2x²-2×2x×

2x

•

2

2

=2x²，
即x²=1，
解得x=1，
即BD=2，CD=1，AD=

2

，
在△ACD中，
AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos

3π

4

=2+1-2×

2

×（-

2

2

）=5，
即AC=

5

，
則AC+BC=3+

5

，
故答案為：3+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是特殊角的三角函數(shù)值和正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．