Question

已知如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，E，F(xiàn)是斜邊BC上的兩點，且∠EAF=45°．那么以BE，EF，F(xiàn)C三條線段為邊的正方形面積間有何關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：常規(guī)題型

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠2=∠C=45°，再把△ACF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1=∠C=45°，BD=CF，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∠DAF=90°，接著證明∠EAD=∠EAF，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AEF≌△AED，得到DE=FE；由于∠DBE=∠1+∠2=90°，根據(jù)勾股定理得BE²+BD²=DE²，然后利用等線段代換即可得到BE²+FC²=EF²．

解答：解：BE²+FC²=EF²．理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD，如圖，則∠1=∠C=45°，BD=CF，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∠DAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠CAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAD=45°，即∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△AEF和△AED中

AE=AE ∠EAF=∠EAD AF=AD

，
∴△AEF≌△AED，
∴EF=DE，
∵∠DBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BD²=DE²，
∴BE²+FC²=EF²．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)