Question

如圖1，已知正方形ABCD，把一個直角與正方形疊合，使直角頂點(diǎn)與一重合，當(dāng)直角的一邊與BC相交于E點(diǎn)，另一邊與CD的延長線相交于F點(diǎn)時．
（1）證明：BE=DF；
（2）如圖2，作∠EAF的平分線交CD于G點(diǎn)，連接EG．證明：BE+DG=EG；
（3）如圖3，將圖1中的“直角”改為“∠EAF=45°”，當(dāng)∠EAF的一邊與BC的延長線相交于E點(diǎn)，另一邊與CD的延長線相交于F點(diǎn)，連接EF．線段BE，DF和EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠BAE=∠DAF，則可根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ADF，然后根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到BE=DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE=AF，再根據(jù)角平分線的定義得∠EAG=∠FAG，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AEG≌△FAG，得到GE=GF，由于GF=DG+DF，所以BE+DG=EG；
（3）作AG⊥AF交BC于G點(diǎn)，如圖3，與（1）一樣可證明△ABG≌△ADF，得到BG=DF，AG=AF；再與（2）一樣可證明△AEG≌△AEF得到EF=EG，利用BE=BG+GE，
即可得到BE=DF+EF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠EAF=90°，即∠EAD+∠FAD=90°，
而∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）證明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF的平分線交CD于G點(diǎn)，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△FAG中

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG

，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DG+DF，
而BE=DF，
∴BE+DG=EG；
（3）解：BE=DF+EF．理由如下：
作AG⊥AF交BC于G點(diǎn)，如圖3，
與（1）一樣可證明△ABG≌△ADF，
∴BG=DF，AG=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=90°-∠EAF=45°，
與（2）一樣可證明△AEG≌△AEF，
∴EF=EG，
∵BE=BG+GE，
∴BE=DF+EF．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用三角形全等的知識解決線段相等的問題．