Question

5．設(shè)△ABC是銳角三角形，∠A，∠B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b，其邊上的高分別為m，n，∠ACB=θ．
（1）用θ和b的關(guān)系式表示m；
（2）若a＞b，試比較a+m與b+n的大��；
（3）如圖，在△ABC中作一個(gè)面積最大的正方形，假設(shè)a＞b，問(wèn)正方形的一邊在三角形的哪條邊上的正方形面積最大？試寫(xiě)出求解過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到n=asinθ，代入得到（a-b）（1-sinθ），根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HK=$\frac{am}{a+m}$，同理H′G′=$\frac{bn}{b+n}$，設(shè)△ABC的面積我S，于是得到HK=$\frac{am}{a+m}$=$\frac{S}{2（a+m）}$＜$\frac{S}{2（b+n）}$=$\frac{bn}{b+n}$=H′G′，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為b，∠A邊上的高分別為m，
∴∠sinθ=$\frac{m}$，
∴m=bsinθ；

（2）同（1）的結(jié)論可得n=asinθ，則（a+m）-（b+n）=（a-b）（1-sinθ），
∵a＞b，sinθ＜1，
∴（a-b）（1-sinθ）＞0，
∴a+m＞b+n；

（3）∵HK∥BC，
∴△AHK∽△ABC，
∴$\frac{HK}{BC}=\frac{AI}{AD}$，
∵BC=a，AD=m，
∴HK=$\frac{am}{a+m}$，同理H′G′=$\frac{bn}{b+n}$，
設(shè)△ABC的面積為S，∴HK=$\frac{am}{a+m}$=$\frac{S}{2（a+m）}$＜$\frac{S}{2（b+n）}$=$\frac{bn}{b+n}$=H′G′，
∴正方形的邊在AC上時(shí)面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，不等式的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．