【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點A(4,0)、B(10),交y軸于點C

1)求拋物線的解析式.

2)點P是直線AC上方的拋物線上一點,過點P于點H,求線段PH長度的最大值.

3Q為拋物線上的一個動點(不與點A、B、C重合),軸于點M,是否存在點Q,使得以點AQ、M三點為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可;

2)先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,過點 P x 軸的垂線,交直線 AC 于點 E,如圖1,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,則PE可用含t的代數(shù)式表示,易證△PEH∽△ACO,可得,于是PH可用含t的代數(shù)式表示,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PH長度的最大值;

3)設(shè)Q點的橫坐標(biāo)為m,則Q點的縱坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示,分三種情況:當(dāng)1m4時,如圖2;當(dāng)m4時,如圖3;當(dāng)m1時,如圖4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況,建立關(guān)于m的方程求解即可.

解:(1)將 A40)、B1,0)代入

得:,解得,

∴拋物線的解析式為;

2)將代入,得,∴

設(shè)直線 AC 的解析式為,

A4,0)代入,解得:,

∴直線 AC 的解析式為

過點 P x 軸的垂線,交直線 AC 于點 E,如圖1,

設(shè) ,則

∵∠PEH=ACO,∠PHE=AOC=90°,

∴△PEH∽△ACO

,

∴當(dāng)時,PH 有最大值;

3)存在,點

理由如下:

設(shè)Q點的橫坐標(biāo)為m,則Q點的縱坐標(biāo)為﹣m2+m2,

當(dāng)1m4時,如圖2,AM4mQM=﹣m2+m2,

又∵∠COA=∠QMA90°,

∴①當(dāng)時,△AQM∽△ACO,即4m2(﹣m2+m2),

解得:m2m4(舍去),

此時Q2,1);

②當(dāng)時,△AQM∽△CAO,即24m)=﹣m2+m2,

解得:m4m5(均不合題意,舍去);

當(dāng)m4時,如圖3,AMm4,QMm2m+2

又∵∠COA=∠QMA90°,

∴①當(dāng)時,△AQM∽△ACO,即m42m2m+2),

解得:m2m4(均不合題意,舍去);

②當(dāng)時,△AQM∽△CAO,即2m4)=m2m+2,

解得:m5m4(不合題意,舍去);

Q5,﹣2);

當(dāng)m1時,如圖4,AM4m,QMm2m+2

又∵∠COA=∠QMA90°,

①當(dāng)時,△AQM∽△ACO,即4m2m2m+2),

解得:m0m4(均不合題意,舍去);

②當(dāng)時,△AQM∽△CAO,即24m)=m2m+2,

解得:m=﹣3m4(不合題意,舍去);

Q(﹣3,﹣14);

綜上所述,符合條件的點Q為(2,1)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14).

練習(xí)冊系列答案
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1)若

①如圖2,當(dāng)點B’落在AC上時,顯然PCB’是直角三角形,求此時t的值

②是否存在異于圖2的時刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請說明理由

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1)求反比例函數(shù)的解析式;

2)當(dāng)BD2AB時,求點B的坐標(biāo);

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1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;

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4)估算該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時有多少人.

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平均數(shù)(分)

92

95

95

92

方差

3.6

3.6

7.4

8.1

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