Question

16．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，BD交于點O，設(shè)△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．
（1）求證：S₂=S₄；
（2）設(shè)AD=m，BC=n，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，根據(jù)上述條件，判斷S₁+S₃與S₂+S₄的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A、D分別作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等得到S_△ABC=S_△DBC，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)題意用S₁分別表示S₂、S₃，利用求差法和非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 證明：（1）過A、D分別作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∴S_△ABC=S_△DBC，
∴S_△ABC-S_△OBC=S_△DBC-S_△OBC，即S_△ABO=S_△DCO，
∴S₂=S₄；
（2）∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{m}{n}$，
∴S₂=$\frac{n}{m}$S₁，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，
∴S₃=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
∴S₃+S₁=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
∵S₂=S₄，
∴S₂+S₄=$\frac{2n}{m}$S₁，
∴（S₁+S₃）-（S₂+S₄）=$\frac{{n}^{2}+{m}^{2}}{{m}^{2}}$S₁-$\frac{2n}{m}$S₁=$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$S₁，
當m=n時，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$=0，
S₁+S₃=S₂+S₄，
當m≠n時，$\frac{（m-n）^{2}}{{m}^{2}}$＞0，
（S₁+S₃）-（S₂+S₄）＞0，
（S₁+S₃）＞（S₂+S₄）．

點評 本題考查的是面積及等積變換，掌握等底等高的兩個三角形面積相等、相似三角形的面積比等于相似比的平方以及等量代換是解題的關(guān)鍵．