Question

已知四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=8，將矩形OABC沿直線OB折疊，使點A落在D處，BD交OC于E．
（1）求OE的長；
（2）求過O、C、D三點拋物線的解析式；
（3）若F為過O、D、C三點拋物線的頂點，一動點P從點A出發(fā)，沿射線AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當(dāng)運動時間t秒為何值時，直線PF把△FOB分成面積之比為1：3的兩部分？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)AAS定理得出△BEC≌△OED，再根據(jù)勾股定理求出OE的長；
（2）過D作DG⊥OC于G，可得出△ODE∽△OGD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（3）先求出直線OB的解析式為y=

1

2

x，設(shè)直線PF交OB于H，H（m，

1

2

m），過H作HM⊥OA垂足為M，則△oMH∽△oab，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出HM的長、OM的長，求得H的坐標(biāo)，然后根據(jù)F、H的坐標(biāo)求得直線PF的解析式，進(jìn)而可得出結(jié)論；

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形OABC為矩形，△OBD是由△OAB沿BD翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（0，8），則OD=BC=OA=4，
∠D=∠ECB=90°，∠OED=∠BEC，
∵

∠D=∠ECB ∠OED=∠BEC OD=BC

，
∴△OED≌△BEC（AAS），
∴DE=EC，
設(shè)OE=x，則EC=8-x，
∴x²=（8-x）²+4²．
∴OE=5，
（2）如圖2，過D作DG⊥OC于G，故△ODE∽△OGD，
∵OE=5，
∴DE=EC=8-5=3，
∴

OD

OE

=

DG

DE

=

OG

OD

，
即

4

5

=

DG

3

=

OG

4

，解得，DG=

12

5

，OG=

16

5

，
∴D（

16

5

，-

12

5

），
由于過點O、D、C的拋物線經(jīng)過原點，則設(shè)y=ax²+bx，而C（8，0），D（

16

5

，-

12

5

），
∴

64a+8b=0 ( 16 5 )2a+ 16 5 b=- 12 5

，
解之得

a= 5 32 b=- 5 4

，
∴y=

5

32

x²-

5

4

x；

（3）如圖3，由y=

5

32

x²-

5

4

x；
=

5

32

（x²-8x+16）-

5

2

=

5

32

（x-4）²-

5

2

，
故頂點F的坐標(biāo)為F（4，-

5

2

）；
易求直線OB的解析式為y_OB=

1

2

x，設(shè)直線PF交OB于H，H（m，

1

2

m），
過H作HM⊥OA垂足為M，則△OMH∽△OAB，
∵直線PF把△FOB分成面積之比為1：3的兩部分，
∴

OH

OB

=

1

4

或

OH

OB

=

3

4

∴

OH

OB

=

OM

OA

=

1

4

或

OM

OA

=

3

4

∴OM=

1

4

×4=1或OM=

3

4

×4=3
∴MH=2或MH=6，
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H₁（2，1），H₂（6，3），
∴直線FH₁的解析式為y=-

7

4

x+

9

2

，當(dāng)y=4時，x=

2

7

，
直線EH₂的解析式為y=

11

4

x-

27

2

，當(dāng)y=4時，x=

70

11

，
故當(dāng)t=

2

7

秒或

70

11

秒，直線PF把△FOB分成面積之比為1：3的兩部分．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、全等三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．