Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC=12，∠ACO=30°
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)G（0，-6）作GF⊥AC，垂足為F，直線GF分別交AB、OC于點(diǎn)E、D，求直線DE的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、F、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；
（2）先求出直線DE的斜率，設(shè)直線DE的解析式是y=

3

x+b，再把點(diǎn)G代入求出b的值即可；
（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在直角△OAC中，
∵∠ACO=30°
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴設(shè)OA=

3

x，則OC=3x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（

3

x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2

3

．
故C的坐標(biāo)是：（6

3

，0），B的坐標(biāo)是（6

3

，6）；

（2）∵直線AC的斜率是：-

6

6 3

=-

3

3

，
∴直線DE的斜率是：

3

．
∴設(shè)直線DE的解析式是y=

3

x+b，
∵G（0，-6），
∴b=-6，
∴直線DE的解析式是：y=

3

x-6；

（3）∵C的坐標(biāo)是：（6

3

，0），B的坐標(biāo)是（6

3

，6）；
∴A（0，6），
∴設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

6=b 0=6 3 k+b

，
解得

b=6 k=- 3 3

．
∴直線AC的解析式為y=-

3

3

x+6．
∵直線DE的解析式為y=

3

x-6，
∴

y=- 3 3 x+6 y= 3 x-6

，
解得

x=3 3 y=3

．
∴F是線段AC的中點(diǎn)，
∴OF=

1

2

AC=6，
∵直線DE的斜率是：

3

．
∴DE與x軸夾角是60°，
當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖1），ON∥FM，
則∠POC=60°或120°．
當(dāng)∠POC=60°時(shí)，過N作NG⊥y軸，則PG=OP•sin30°=6×

1

2

=3，
OG=OP•cos30°=6×

3

2

=3

3

，則P的坐標(biāo)是（3，3

3

）；
當(dāng)∠NOC=120°時(shí)，與當(dāng)∠POC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則坐標(biāo)是（-3，-3

3

）；
當(dāng)OF是對(duì)角線時(shí)（如圖2），MP關(guān)于OF對(duì)稱．
∵F的坐標(biāo)是（3

3

，3），
∴∠FOD=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=

1

2

OF=3，OP=

OH

cos∠POH

=

3

3 2

=2

3

．
作PL⊥y軸于點(diǎn)L．
在直角△OPL中，∠POL=30°，
則PL=

1

2

OP=

3

，
OL=OP•cos30°=2

3

×

3

2

=3．
故P的坐標(biāo)是（

3

，3）．
當(dāng)DE與y軸的交點(diǎn)時(shí)G，這個(gè)時(shí)候P在第四象限，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3

3

，-3）．
則P的坐標(biāo)是：（3

3

，-3）或（3，3

3

）或（-3，-3

3

）或（

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，在解答（3）時(shí)要注意分兩種情況進(jìn)行討論，不要漏解．