Question

已知，M是△ABC內(nèi)的一點，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD=BF，CD=CE，求證：AE=AF．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：證明題

分析：如圖，設(shè)MD、ME、MF分別交BC，AC，AB于P，Q，R．連接MA，MB，MC．構(gòu)建如圖所示的直角三角形，利用勾股定理求得AE²=AF²．則AE=AF．

解答：證明：如圖，設(shè)MD、ME、MF分別交BC，AC，AB于P，Q，R．連接MA，MB，MC．
∵MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
∴由勾股定理MB²=MP²+BP²=MR²+BR²①
BD²=MP²+PD²=BF²=BR²+FR²②
CM²=CP²++MP²=CQ²+MQ²③
CD²=PD²+PC²=CF²=CQ²+QF²④
MA²=MQ²+AQ²=AR²+MR²⑤
由①②③④⑤可得
AQ²+MQ²=AR²+FR²，即AE²=AF²．
∴AE=AF．

點評：本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．