Question

已知直線y=-

1

2

+4交x軸于A，交y軸于B，M是OA上的一點(diǎn)，圓M交x軸與A、B兩點(diǎn)，交y軸于B、D兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若BE是圓M的直徑，∠EBD的平分線交AE的延長線于F，求線段BF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作MN⊥AB于N，如圖，先利用坐標(biāo)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A（8，0），B（0，4），再利用勾股定理計(jì)算出AB=4

5

，根據(jù)垂徑定理由MN⊥AB得到AN=

1

2

AB=2

5

，然后證明Rt△AMN∽R(shí)t△ABO，利用相似比計(jì)算出AM=5，則OM=OA-AM=3，于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）根據(jù)圓周角定理由BE為直徑得到∠BAE=90°，利用∠1=∠2，∠3=∠4，加上∠1+∠2+∠3+∠4=90°得到∠1+∠3=45°，于是可判斷△ABF為等腰直角三角形，所以BF=

2

AB=4

10

．

解答：解：（1）作MN⊥AB于N，如圖，
∵直線y=-

1

2

x+4交x軸于A，交y軸于B，
∴A（8，0），B（0，4），
∴AB=

OB2+OA2

=4

5

，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴AN=BN=

1

2

AB=2

5

，
∵∠MAN=∠BAM，
∴Rt△AMN∽R(shí)t△ABO，
∴AM：AB=AN：OA，即AM：4

5

=2

5

：8，
∴AM=5，
∴OM=OA-AM=8-5=3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，
∵M(jìn)A=MB，
∴∠1=∠2，
又∵BF平分∠EBD，
∴∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴BF=

2

AB=

2

•4

5

=4

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．