Question

如圖，已知正方形ABCD，AEFG，∠BAG=α（0゜＜α＜180゜）連接BD，EG，DE，BE，DG．

（1）觀察，歸納：當(dāng)α由0゜到180゜的變化過程中，圖中現(xiàn)有的線段中有兩條的位置和數(shù)量關(guān)系保持不變，請(qǐng)直接寫出這兩條線段的關(guān)系；
（2）利用第二個(gè)圖形證明你的發(fā)現(xiàn)；
（3）設(shè)正方形ABCD，AEFG的邊長(zhǎng)分別為5和3，線段BD，DE，EG，GB圍成一個(gè)封閉圖形的面積為S，當(dāng)α變化時(shí)，請(qǐng)直接寫出S的最大值及相應(yīng)的α值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）觀察得到線段BE和DG線段且垂直；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，將△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=DG，且BE⊥DG；
（3）當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD，DE，EG，GB圍成一個(gè)封閉圖形的面積最大，它們所圍成的圖形為對(duì)角互相垂直的四邊形BDEG，所以S=

1

2

BE•DG=

1

2

×8×8=32，即S的最大值為32．

解答：（1）解：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）證明：∵四邊形ABCD，AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴將△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，
∴DG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BE重合，
∴BE=DG，且BE⊥DG；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD，DE，EG，GB圍成一個(gè)封閉圖形的面積最大，如圖，

∴S=

1

2

BE•DG=

1

2

×8×8=32，即S的最大值為32．

即α=90°時(shí)S有最大值，且S=32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．會(huì)運(yùn)用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．