Question

2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似；
（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，須滿足的條件是“BE＜MN”．分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)E．
如解答圖所示，點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部，須滿足的條件是BE＜MN．
∵△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{QB}$，即$\frac{10}{a}$=$\frac{8}{QB}$，解得QB=$\frac{4}{5}$a．
∵AB∥CD，
∴△QBE∽△QCP，
∴$\frac{BE}{PC}$=$\frac{QB}{QC}$，即$\frac{BE}{a-8}$=$\frac{\frac{4}{5}a}{\frac{4}{5}a+10}$，解得BE=$\frac{2a（a-8）}{2a+25}$．
∵M(jìn)N為中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（a-8）．
∵BE＜MN，
∴$\frac{2a（a-8）}{2a+25}$＜$\frac{1}{2}$（a-8），解得a＜12.5．
∴當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，a的取值范圍為：8＜a＜12.5．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線、勾股定理、二次函數(shù)的最值、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．解題關(guān)鍵是：第（2）問中需要明確“點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部”所要滿足的條件．