Question

3．如圖，直角坐標平面內(nèi)的梯形OABC，OA在x軸上，OC在y軸上，OA∥BC，點E在對角線OB上，點D在OC上，直線DE與x軸交于點F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3$\sqrt{5}$，OD=5．
（1）求經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）求證：△ODE∽△OBC；
（3）在y軸上找一點G，使得△OFG∽△ODE，直接寫出點G的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得BG與OC的關(guān)系，OG與BC的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得BG的長，可得B，C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理，可得OB的長，根據(jù)兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EH，OH的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得DE的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得F點坐標，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得OG的長，可得G點坐標．

解答 解：（1）如圖1，
作BG⊥OA于G點，四邊形OCBG是矩形，BG=OC，OG=BC=3．
AG=OA-OG=6-3=3．
由勾股定理，得
BG=$\sqrt{B{A}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=6．
OC=BG=6，即C（0，6）；
BC=3，BG=6，即B（3，6）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\\{c=6}\end{array}\right.$
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6；
（2）證明：由勾股定理，得
OB=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
由OE=2OB，得
OE=$\frac{2}{3}$OB=2$\sqrt{5}$．
由比的性質(zhì)，得
$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且∠DOE=∠BOC，
∴△ODE∽△OBC．
（3）如圖2，作EH⊥OG于G點，
$\frac{EH}{BG}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，EH=$\frac{2}{3}$×6=4，$\frac{OH}{OG}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，OH=$\frac{2}{3}$×3=2，
即E（2，4），D（0，5），
設DE的解析式為y=kx+b，將D，E點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
DE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
當y=0時，x=10，即F（10，0）．
OF=10．
由△ODE∽△OBC，得∠OED=90°．
由勾股定理，得
DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由△OFG∽△ODE，得
$\frac{OF}{ED}$=$\frac{OG}{OE}$，即OG=$\frac{OF•OE}{ED}$=$\frac{10×2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=20，
點G的坐標為（0，20）、（0，-20）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定：兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；利用相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{OF}{ED}$=$\frac{OG}{OE}$是解題關(guān)鍵．