Question

8．如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，OA=4，且OA，OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-mx+12=0的兩實(shí)根，以O(shè)B為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM，交x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)．
（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）求線段ON的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出OB的長(zhǎng)，故可得出圓的半徑．連結(jié)OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，由D為OA的中點(diǎn)得出OD=AD=CD，故可得出∠OAC=∠ACD，再由∠OAC+∠OBA=90°得出∠BCM+∠ACD=90°，故∠NCD=90°，由此得出結(jié)論；
（2）根據(jù)∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，得出△NOM∽△NCD，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-mx+12=0的兩實(shí)根，OA=4，則OA×OB=12，
得OB=3，⊙M的半徑為1.5；
∵BM=CM=1.5，
∴∠OBA=∠BCM．
連結(jié)OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，D為OA的中點(diǎn)，
∴OD=AD=CD=2，
∴∠OAC=∠ACD，
又∵∠OAC+∠OBA=90°，
∴∠BCM+∠ACD=90°，
∴∠NCD=90°，
∴CD是⊙M的切線．

（2）∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，
∴△NOM∽△NCD，
∴$\frac{ON}{NC}$=$\frac{OM}{CD}$，即$\frac{ON}{\sqrt{（ON+2）^{2}-{2}^{2}}}$=$\frac{1.5}{2}$，
∴NO=$\frac{36}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．